Šablon:Infokutija simbol

GraFikoni y = bx za razne baze b: Šablon:Legend-line Šablon:Legend-line Šablon:Legend-line Šablon:Legend-line Svaka kriva prolazi kroz tačku (0, 1) jer je bilo koji broj različit od nule podignut na stepen 0 1. U x = 1, vrijednost y je jednako bazi jer je svaki broj podignut na stepen od 1 sam broj.

Eksponencijacija je matematička operacija, napisana kao bn , koji uključuje dva broja, baza b i eksponent ili power n, i izgovara se kao "b (podignuto) na (potenciju) n".[1] Kada je n pozitivan integer, eksponencijacija odgovara ponovljenom umnošku baze: to jest, bn je proizvod množenja n baza:[1]

Eksponent se obično prikazuje kao superskripta desno od baze. U tom slučaju, bn zove se "b podignut na n-tu potenciju, 'b (podignut) na stepen n', "n-ti stepen b", "b na n-tu potenciju",[2] ili najkraće kao "b do n-og.

Polazeći od osnovne činjenice gore navedene da je za svaki pozitivan cijeli broj , pojavljivanja sve pomnoženo jedno s drugim, direktno slijedi nekoliko drugih svojstava eksponencijalnosti. Posebno:

Drugim riječima, kada se množi baza podignuta na jedan eksponent sa istom bazom podignutom na drugi eksponent, eksponenti se sabiraju. Iz ovog osnovnog pravila koje dodaju eksponenti možemo izvesti da mora biti jednako 1, kako slijedi. Za bilo koji , . Podjela obje strane sa daje .

Činjenica da se može na sličan način izvesti iz istog pravila. Na primjer, . Uzimanje kubnog korijena obje strane daje .

Pravilo da množenje čini da se eksponenti sabiraju može se koristiti i za izvođenje svojstava negativnih cjelobrojnih eksponenata. Razmotrite pitanje šta bi trebalo značiti . Da bi se poštivalo pravilo "eksponenti dodatak", mora biti slučaj da . Dijeljenje obje strane sa daje , što se jednostavnije može napisati kao , koristeći rezultat odozgo da je . Po sličnom argumentu, .

Svojstva razlomanih eksponenata također proizlaze iz istog pravila. Naprimjer, pretpostavimo da razmatramo i pitamo postoji li neki odgovarajući eksponent, koji možemo nazvati , tako da je . Iz definicije kvadratnog korijena, imamo da je . Prema tome, eksponent mora biti takav da . Korišćenje činjenice da množenje čini eksponente sabiranjem daje . na desnoj strani se također može napisati kao , dajući . Izjednačavajući eksponente na obje strane, imamo . Prema tome, , tako da .

Definicija eksponencijalnosti može se proširiti tako da omogući bilo koji realan ili kompleksni eksponent. Eksponencijaliranje cjelobrojnim eksponentima se također može definisati za širok spektar algebarskih struktura, uključujući matrice.

Eksponencijacija se intenzivno koristi u mnogim poljima, uključujući ekonomiju, biologiju, hemiju, fiziku i računarske nauke, sa aplikacijama kao što su složeni interes, rast populacije, kinetika hemijske reakcije, ponašanje talasa i kriptografija s javnim ključem.

Terminologija

uredi

Izraz b2 = b · b naziva se "kvadrat od b ili b na kvadrat, jer je površina kvadrata sa dužinom stranice b b 2.

Slično tome, izraz b3 = b · b · b naziva se "kub od b ili b kocka, jer je zapremina kocke sa bočnom dužinom b b3.

Kada je pozitivan cijeli broj, eksponent pokazuje koliko je kopija baze pomnoženo zajedno. Naprimjer, 35 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243. Baza 3 se pojavljuje 5 puta u množenju, jer je eksponent 5. Ovde, 243 je 5. stepen od 3, ili 3 podignuto na 5. stepen.

Riječ "podignut" se obično izostavlja, a ponekad i "potencija", tako da se 35 može jednostavno pročitati "3 na 5.", ili "35." Stoga se eksponencijacija bn može izraziti kao "b na stepen n", "' 'b' na n-tu potenciju, ''b na n-tu, ili najkraće kao b na n.

Formula sa ugniježđenom eksponencijacijom, kao što je 357 (što znači 3(57 sup>) a ne (35)7), naziva se potencija moći, ili jednostavno potdencija. Naprimjer, pisanje   je ekvivalentno pisanju  . Ovo se može generalizirati na to gdje pisanje   znači  . Naprimjer,   se može izračunati kao  , što se može izračunati kao  , što je jednako  , što je jednako 10..

Cjelobrojni eksponenti

uredi

Operacija eksponencijaliranja sa celobrojnim eksponentima može se definisati direktno iz elementarnih aritmetičkih operacija.

Pozitivni eksponenti

uredi

Definicija eksponencijacije kao ponavljanog množenja može se formalizirati korištenjem indukcije,[3] a ova definicija se može koristiti čim se dobije asocijativnost množenja:

Osnovni slučaj je

 

a ponavljanje je

 

Asocijativnost množenja implicira da za bilo koje pozitivne cijele brojeve m i n,

 

i

 

Nulti eksponent

uredi

Po definiciji, svaki broj različit od nule podignut na stepen 0 je 1:[1][4]

 

Ova definicija je jedina moguća koja dozvoljava proširenje formule:

 

na nulte eksponente. Može se koristiti u svakoj algebarskoj strukturi sa množenjem koje ima identitet.

Intuitivno,   se može protumačiti kao prazan proizvod kopija b. Dakle, jednakost   je poseban slučaj opće konvencije za prazan proizvod.

Slučaj 00 je komplikovaniji. U kontekstima u kojima se razmatraju samo cjelobrojne potencije, vrijednosti 1 se općenito dodjeljuje  , ali u suprotnom, izbor da li će joj se dodijeliti vrijednost i koju vrijednost dodjela može ovisiti o kontekstu. Za više detalja, pogledajte Nula na stepen nula.

Negativni eksponenti

uredi

Eksponencijacija sa negativnim eksponentima je definirana sljedećim identitetom, koji vrijedi za bilo koji cijeli broj n i različit od nule b:

 .[1]

Povećanje 0 na negativan eksponent je nedefinisano, ali se u nekim okolnostima može tumačiti kao beskonačnost ( ).

Ova definicija eksponencijalnosti sa negativnim eksponentima je jedina koja dozvoljava proširenje identiteta   na negativne eksponente (razmotrite slučaj  ).

Ista definicija se odnosi na inverzibilni element u multiplikativnom monoidu, odnosno algebarskoj strukturi, sa asocijativnim množenjem i mulriplikativnim identitetom označenim kao 1 (naprimjer, date dimenzije kvadratne matrice). Konkretno, u takvoj strukturi, inverz od inverzibilnog elementa x standardno se označava  

Identiteti i svojstva

uredi

Slijedeći identiteti, koji se često nazivaju eksponentna pravila, važe za sve cjelobrojne eksponente, pod uslovom da je baza različita od nule:[1]

 

Za razliku od sabiranja i množenja, eksponencijacija nije komutativna. Naprimjer, 23 = 8 ≠ 32 = 9. Također, za razliku od sabiranja i množenja, eksponencijacija nije asocijativna. Naprimjer, (23)2 = 82 = 64, dok je 2(32) = 29 = 512. Bez zagrada, konvencionijski redoslijed operacija za serijsku eksponencijaciju u superskriptnoj notaciji je odozgo prema dolje (ili desno asocijativno), a ne odozdo prema gore (ili lijevo-asocijativno).[5] [6] [7]

To je,
 

što je, općenito, drfukčije od:

 

Potencije zbira

uredi

Potencije sume se normalno mogu izračunati iz potencija sabiraka pomoću binomne formule

 

Međutim, ova formula je istinita samo ako se sabirci mijenjaju (tj. da ab = ba), što se podrazumijeva ako pripadaju strukturi to je komutativno. U suprotnom, ako su a i b, recimo, kvadratne matrice od same veličine, ova formula se ne može koristiti. Iz toga slijedi da se u kompjuterskoj algebri mnogi algoritami koji uključuju cjelobrojne eksponente moraju promijeniti kada se baze eksponencijacije ne mijenjaju. Neki sistemi kompjuterske algebre opće namjene koriste drugačiju notaciju (ponekad ^^ umjesto ^) za eksponencijaciju sa nekomutirajućim bazama, što se tada naziva ' nekomutativno eksponencijaliranje.

Kombinatorna interpretacija

uredi

Za nenegativne cijele brojeve n i m, vrijednost nm je broj [ [funkcija (matematika)|funkcije]] iz skup od m elemenata u skupu n elemenata (pogledajte kardinalno eksponencijaliranje). Takve funkcije mogu biti predstavljene kao m-torke]] iz n-skupa elemenata (ili kao m-slovne riječi iz Šablon:Mvar-a-slovna abeceda). Neki primjeri za određene vrijednosti m i n dati su u sljedećoj tabeli:

nm nm moguće m-torke elemenata iz skupa (1, ..., n)
05 = 0 none
14 = 1 (1, 1, 1, 1)
23 = 8 (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 1), (2, 1, 2), (2, 2, 1), (2, 2, 2)
32 = 9 (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)
41 = 4 (1), (2), (3), (4)
50 = 1 ()

Posebne baze

uredi

Potencije desetica

uredi

U sistemu brojeva sa bazom deset (decimalni), cjelobrojne potencije 10 se zapisuju kao cifra 1 iza koje slijedi ili prethodi broj nula određenih predznakom i veličinom eksponenta. Naprimjer, 10−4 = 0,0001.

Eksponencijacija sa bazom 10 se koristi u naučnoj notaciji za označavanje velikih ili malih brojeva. Naprimjer, 299.792.458 m/s (brzina svjetlosti u vakuumu, u metrima u sekundi) se može napisati kao 2,99792458×108 m/s, a zatim približno kao 2,998×108 m/s. SI prefiksi zasnovane na moćima 10 se također koriste za opisivanje malih ili velikih količina. Na primjer, prefiks kilo znači 103 = 1.000, tako da je kilometar 1.000 metri.[8] [9]

Potencije dvojke

uredi

Prve negativne potencije 2 se obično koriste i imaju posebne nazive, npr.: pola i četvrtina .

Moći 2 se pojavljuju u teoriji skupova, pošto skup sa n članovima ima power set, skup svih njegovih podskups, koji ima 2n članova.

Cjelobrojne moći 2 su važne u računarstvu. Pozitivni cijeli brojevi 2n daju broj mogućih vrijednosti za n-bit cijeli broj binarni broj; na primjer, byte može uzeti 28 = 256 različite vrijednosti. binarni brojevni sistem izražava bilo koji broj kao zbir stepena 2, i označava ga kao niz 0 i 1, razdvojenih sa a binarna tačka, gde 1 označava stepen 2 koji se pojavljuje u zbiru; eksponent je određen mjestom ove 1: nenegativni eksponenti su rang 1 na lijevoj strani tačke (počevši od 0), a negativni eksponenti su određeni rangom s desne strane tačke.

Potenciranje jedan

uredi

Potencije 1 su jednake 1: 1n = 1. To je zato što

 
i  

Prvi stepen broja je sam broj:   Eksponent može biti vrlo velik, a izlaz je i dalje 1, naprimjer  . Ovo izračunavanje uzrokuje grešku prelivanja u računarima jer je broj   izuzetno velik, a rezultat podizanja 1 na taj stepen je samo 1.

Potenciranje nule

uredi

Ako je eksponent n pozitivan (n > 0), n-ta potencija nule je nula: 0n = 0.

Ako je eksponent n negativan (n < 0), n-ti stepen nule 0 n je nedefiniran, jer mora biti jednak   sa n > 0, a to bi bilo   prema gore navedenom.

Izraz 00 je ili definiran kao 1, ili je ostavljen nedefiniran.

Potencije negativne jedinice

uredi

Ako je n paran cijeli broj, tada je (−1)n = 1. To je zato što se negativan broj pomnožen sa drugim negativnim brojem poništava i daje pozitivan broj.

Ako je n neparan cijeli broj, tada je (−1)n = −1. To je zato što će postojati preostali (−1) nakon uklanjanja svih parova (−1).

Zbog toga su potencije −1 korisne za izražavanje naizmjeničnih sekvencija.

Potencije 3

uredi

Ternarna logika koristi bazu 3 kao alternativu bazi −2 za binarnu logiku, koju koriste svi savremeni računari. Postoje mnoge prednosti dizajniranja računara sa bazom 3 uključujući veću sigurnost.

Veliki eksponenti

uredi

Ograničenje niza stepena broja većeg od jedan se razilazi; drugim riječima, niz raste neograničeno:

bn → ∞ kao n → ∞ kada je b > 1

Ovo se može pročitati kao "b na stepen n teži ka +∞ kao n teži beskonačnosti kada je b veće od 1". Potencije broja sa apsolutna vrijednost manjim od jedan teže nuli:

bn → 0 kao n → ∞ kada je |' 'b| < 1

Svaka potencija 1 je uvijek 1:

bn = 1 za sve n ako je b = 1

Potencije –1 se naizmjenično smjenjuju između 1 i –1 kao što se n mijenja između parnih i neparnih, i stoga ne teže bilo kojoj granici kako n raste.

Ako se b < –1, bn mijenja između većih i većih pozitivnih i negativnih brojeva jer se n izmjenjuje između parnih i neparnih, i stoga ne teži bilo kakvom ograničenju kako n raste.

Ako eksponencirani broj varira dok teži ka 1 dok eksponent teži beskonačnosti, onda granica nije nužno jedna od onih iznad. Posebno važan slučaj je

(1 + 1/n)ne kao n → ∞

Funkcije potencija

uredi
 
Potencija funkcije za  
 
Potencika funkcije za  

Realne funkcije oblika  , gdje je  , ponekad se nazivaju funkcije potencije.<r ef>Hass, Joel R.; Heil, Christopher E.; Weir, Maurice D.; Thomas, George B. (2018). Thomas' Calculus (14 izd.). Pearson. str. 7–8. ISBN 9780134439020.</ref> Kada je   integer i  , postoje dvije primarne porodice: za   čak i za   neparan. Općenito za  , kada je   paran   težit će ka pozitivnoj beskonačnosti sa povećanjem  , kao i prema pozitivnoj beskonačnosti sa smanjenjem  . Svi grafikoni iz porodice parnih funkcija stepena imaju opći oblik  , spljoštavajući se više u sredini kako se   povećava.[10] Funkcije sa ovom vrstom simetrija ( ) nazivaju se parne funkcije.

Kada je   neparan, asimptotično ponašanje   se obrće s pozitivnog   na negativno   matematika>. Za  ,   će također težiti pozitivnom beskonačnost sa povećanjem   math>, ali prema negativnoj beskonačnosti sa smanjenjem  . Svi grafikoni iz porodice funkcija neparnog stepena imaju opći oblik  , spljoštavajući se više u sredini kako se   povećava i gube svu ravnost u ravnini linija za  . Funkcije sa ovom vrstom simetrije ( ) se nazivaju neparne funkcije.

Za  , suprotno asimptotsko ponašanje je istinito u svakom slučaju.[10]

Potencije decimalnih brojeva

uredi
n n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
3 9 27 81 243 729 Razvojna greška: Nije prepoznat karakter punktacije "," Razvojna greška: Nije prepoznat karakter punktacije "," Razvojna greška: Nije prepoznat karakter punktacije "," Razvojna greška: Nije prepoznat karakter punktacije ","
4 16 64 256 1024 Razvojna greška: Nije prepoznat karakter punktacije "," Razvojna greška: Nije prepoznat karakter punktacije "," Razvojna greška: Nije prepoznat karakter punktacije "," Razvojna greška: Nije prepoznat karakter punktacije "," Razvojna greška: Nije prepoznat karakter punktacije ","
5 25 125 625 3125 Razvojna greška: Nije prepoznat karakter punktacije "," Razvojna greška: Nije prepoznat karakter punktacije "," Razvojna greška: Nije prepoznat karakter punktacije "," Razvojna greška: Nije prepoznat karakter punktacije "," Razvojna greška: Nije prepoznat karakter punktacije ","
6 36 216 1296 Razvojna greška: Nije prepoznat karakter punktacije "," Razvojna greška: Nije prepoznat karakter punktacije "," Razvojna greška: Nije prepoznat karakter punktacije "," Razvojna greška: Nije prepoznat karakter punktacije "," Razvojna greška: Nije prepoznat karakter punktacije "," Razvojna greška: Nije prepoznat karakter punktacije ","
7 49 343 2401 Razvojna greška: Nije prepoznat karakter punktacije "," Razvojna greška: Nije prepoznat karakter punktacije "," Razvojna greška: Nije prepoznat karakter punktacije "," Razvojna greška: Nije prepoznat karakter punktacije "," Razvojna greška: Nije prepoznat karakter punktacije "," Razvojna greška: Nije prepoznat karakter punktacije ","
8 64 512 4096 Razvojna greška: Nije prepoznat karakter punktacije "," Razvojna greška: Nije prepoznat karakter punktacije "," Razvojna greška: Nije prepoznat karakter punktacije "," Razvojna greška: Nije prepoznat karakter punktacije "," Razvojna greška: Nije prepoznat karakter punktacije "," Razvojna greška: Nije prepoznat karakter punktacije ","
9 81 729 6561 Razvojna greška: Nije prepoznat karakter punktacije "," Razvojna greška: Nije prepoznat karakter punktacije "," Razvojna greška: Nije prepoznat karakter punktacije "," Razvojna greška: Nije prepoznat karakter punktacije "," Razvojna greška: Nije prepoznat karakter punktacije "," Razvojna greška: Nije prepoznat karakter punktacije ","
10 100 1000 Razvojna greška: Nije prepoznat karakter punktacije "," Razvojna greška: Nije prepoznat karakter punktacije "," Razvojna greška: Nije prepoznat karakter punktacije "," Razvojna greška: Nije prepoznat karakter punktacije "," Razvojna greška: Nije prepoznat karakter punktacije "," Razvojna greška: Nije prepoznat karakter punktacije "," Razvojna greška: Nije prepoznat karakter punktacije ","

Također pogledajte

uredi


Napomene

uredi

Reference

uredi
  1. ^ a b c d e Nykamp, Duane. "Basic rules for exponentiation". Math Insight. Pristupljeno 27. 8. 2020.
  2. ^ Weisstein, Eric W. "Power". mathworld.wolfram.com (jezik: engleski). Pristupljeno 27. 8. 2020.
  3. ^ Hodge, Jonathan K.; Schlicker, Steven; Sundstorm, Ted (2014). Abstract Algebra: an inquiry based approach. CRC Press. str. 94. ISBN 978-1-4665-6706-1.
  4. ^ Achatz, Thomas (2005). Technical Shop Mathematics (3rd izd.). Industrial Press. str. 101. ISBN 978-0-8311-3086-2.
  5. ^ Backus, John Warner; Herrick, Harlan L.; Nelson, Robert A.; Ziller, Irving (10. 11. 1954). Backus (ured.). Specifications for: The IBM Mathematical FORmula TRANSlating System, FORTRAN (PDF) (Preliminary report). New York, USA: Programming Research Group, Applied Science Division, International Business Machines Corporation. str. 4, 6. Arhivirano (PDF) s originala, 29. 3. 2022. Pristupljeno 4. 7. 2022. (29 pages)
  6. ^ Backus, John Warner; Beeber, R. J.; Best, Sheldon F.; Goldberg, Richard; Herrick, Harlan L.; Hughes, R. A.; Mitchell, L. B.; Nelson, Robert A.; Nutt, Roy (15. 10. 1956). Sayre, David (ured.). The FORTRAN Automatic Coding System for the IBM 704 EDPM: Programmer's Reference Manual (PDF). New York, USA: Applied Science Division and Programming Research Department, International Business Machines Corporation. str. 15. Arhivirano (PDF) s originala, 4. 7. 2022. Pristupljeno 4. 7. 2022. Referenca sadrži prazan nepoznati parametars: |1= i |2= (pomoć) (2+51+1 pages)
  7. ^ "A report on primes of the form k · 2n + 1 and on factors of Fermat numbers" (PDF). Proceedings of the American Mathematical Society. University of California, Berkeley, California, USA. 9 (5): 673–681 [677]. oktobar 1958 [1958-04-07]. doi:10.1090/s0002-9939-1958-0096614-7. Arhivirano (PDF) s originala, 28. 6. 2020. Pristupljeno 28. 6. 2020. |author-first= nedostaje |author-last= (pomoć)
  8. ^ Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel W.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W., ured. (2010). NIST Handbook of Mathematical Functions. National Institute of Standards and Technology (NIST), U.S. Department of Commerce, Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19225-5. MR 2723248.[1]
  9. ^ Zeidler, Eberhard; Schwarz, Hans Rudolf; Hackbusch, Wolfgang; Luderer, Bernd; Blath, Jochen; Schied, Alexander; Dempe, Stephan; Wanka, Gert (2013) [2012]. Zeidler, Eberhard (ured.). Springer-Handbuch der Mathematik I (jezik: njemački). I (1 izd.). Berlin/Heidelberg, Germany: Springer Spektrum, Springer Fachmedien Wiesbaden. str. 590. doi:10.1007/978-3-658-00285-5. ISBN 978-3-658-00284-8. (xii+635 pages)
  10. ^ a b Anton, Howard; Bivens, Irl; Davis, Stephen (2012). Calculus: Early Transcendentals (9th izd.). John Wiley & Sons. str. 28. ISBN 9780470647691.

Vanjski linkovi

uredi

Šablon:Hiperoperacije