Konvergentan red

Za članak o istoimenoj zbirci kratkih priča, pogledajte članak Konvergentan red (zbirka kratkih priča).

U matematici, red je suma članova niza brojeva.

Za dati niz , n-ta parcijalna suma je suma prvih n članova niza, to jest,

Red je konvergentan ako je niz njegovih parcijalnih suma konvergentan. U formalnijem jeziku, red konvergira ako postoji granična vrijednost takva da za svaki proizvoljan pozitivan broj , postoji veliki cijeli broj , takav da za sve vrijedi

Za niz, koji nije konvergentan, kaže se da je divergentan.

Primjeri konvergentnih i divergentnih redova uredi

  • Recipročni brojevi stepena broja 2 ( ) tvore konvergentan red (takav da je skup stepeni broja 2 "mali"):
  • : 
  • Recipročni brojvi pozitivnih cijelih brojeva tvore divergentan red:
  • : 
  • Alternirajući znakovi (+ i -, naizmjenično) recipročnih brojeva pozitivnih cijelih brojeva tvore konvergentan red:
  • : 
  • Recipročni prosti brojevi tvore divergentan red (takav da je skup prostih brojeva "veliki"):
  • : 
  • Recipročni kvadratni brojevi tvore konvergentan broj (Baselov problem):
  • : 
  • Alternirajući znakovi (+ i -, naizmjenično) recipročnih neparnih brojeva tvori konvergentan red:
  • : 

Testovi konvergencije uredi

Postoji nekoliko metoda, pomoću kojih možemo odrediti da li je red konvergentan ili divergentan.

Test poređenja. Članovi niza   se upoređuju sa onim od drugog niza  . Ako je,

za sve n,  , i ako red   konvergira, tada konvergira i red  .

Međutim, ako,

za sve n,  , i ako red   divergira, tada divergira i red  .

D'Alambertov test. Pretpostavimo da je za sve n,  . Pretpostavimo da postoji   takav da vrijedi

 .

Ako je r < 1, tada red konvergira. Ako je r > 1, tada red divergira. Ako je r = 1, D'Alambertov test je neodlučan, te red i konvergirati divergirati (potrebna su dalja ispitivanja).

Cauchyjev korjeni test ili Test n-tog korjena. Pretpostavimo da su članovi niza nenegativni, te da postoji r takav da vrijedi

 

Ako je r < 1, tada red konvergira. Ako je r > 1, tada red divergira. Ako je r = 1, Cauchyjev korjeni test test je neodlučan, te red može i konvergirati i divergirati (potrebna su dalja ispitivanja).

Integralni test. Red se može uporediti sa integrallom kako bi odredili konvergenciju ili divergenciju. Neka   bude pozitivna i monotono opadajuća funkcija. Ako vrijedi

 

tada dati red konvergira. Ali, ako integral divergira, tada i dati red divergira.

Test upoređivanje limesa. Ako je  , a granična vrijednost   postoji i nije nula, tada   konvergira ako i samo ako   konvergira.

Leibnizov test. Za alternativni red oblika  , ako je   monotono opadajuća funkcija, čija je granična vrijednost 0, tada red konvergira.

Cauchyjev test konvergencije. Ako je   monotono opadajući niz, tada   konvergira ako i samo ako   konvergira.

Dirichletov test

Abelov test

Raabeov test

Uslovna i apsolutna konvergencija uredi

Za svaki niz  ,   za sve n. Odatle je

 

Ovo znači da ako   konvergira, tada  , također, konvergira (međutim, obrnuto ne vrijedi!).

Ako red   konvergira, tada je red   apsolutno konvergentan. Apsolutno konvergentan niz je onaj kod kojeg dužina linije, koja je nastala spajanjem svih prirasta na parcijalnu sumu, je konačno duga. Potencijlani red eksponencijalne funkcije je svuda apsolutno konvergentan.

Ako red   konvergira, ali red   divergira, tada je red   uslovno konvergentan. Potencijalni red logaritma je uslovno konvergentan.

Riemannov teorem o redu kaže da ako je red uslovno konvergentan, moguće je njegove članove ispremiještati, tako da on bude konvergentan za svaku vrijednost, čak i da bude divergentan.

Uniformna konvergencija uredi

Neka   bude niz funkcija. Za red   se kaže da konvergira uniformno u f ako je niz   parcijalnih suma definisan sa

 

konvergira uniformno u f.

Postoji analog testu poređenja za beskonačne redove funkcija koji se zove Weierstrassov M-test.

Cauchyjev test konvergencije uredi

Cauchyjev kriterij konvergencije kaže da red

 

konvergira ako i samo ako je niz parcijalnih suma Cauchyjev niz. To znači da za svako   postoji pozitivan cijeli broj   takav da za svako   imamo

 

što je ekvivalentno

 

Reference uredi

  • Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. McGrawHill.
  • Spivak, Michael (1994). Calculus (3rd ed.). Houston, Texas: Publish or Perish, Inc. ISBN 0-914098-89-6.

Vanjski linkovi uredi