Euklidska udaljenost

Euklidska udaljenost je najkraći razmak između dvije tačke u jednom prostoru. U jednoj ravni je, primjera radi, definisana po Pitagorinoj teoremi

Definicija

Euklidova udaljenost između tačaka p i q je dužina segmenta linije koja ih povezuje (${\overline {\mathbf {p} \mathbf {q} }}$).

U Kartezijevim koordinatama, ako su $p=(p_{1},p_{2},...,p_{n})$ i $q=(q_{1},q_{2},...,q_{n})$ dvije tačke Euklidskog n-prostora, onda je udaljenost (d) od P do Q ili od Q do P data pomoću Pitagorine formule:

${\begin{aligned}\mathrm {d} (\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=\mathrm {d} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )&={\sqrt {(q_{1}-p_{1})^{2}+(q_{2}-p_{2})^{2}+\cdots +(q_{n}-p_{n})^{2}}}\\[8pt]&={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(q_{i}-p_{i})^{2}}}.\end{aligned}}$

( 1)

Položaj tačke u Euklidskom n-prostoru je vektor, tj. p i q su Euklidski vektori. Euklidova norma ili Euklidska udaljenosti su dužine vektora:

$\left\|\mathbf {p} \right\|={\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+\cdots +p_{n}^{2}}}={\sqrt {\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} }},$

Vektor se može opisati kao orjentisana duž u Euklidskom prostoru. Ako uzmemo u obzir da je njegova dužina od početka do kraja te duži, postaje jasno da je Euklidska norma vektora poseban slučaj Euklidove udaljenosti:

$\mathbf {q} -\mathbf {p} =(q_{1}-p_{1},q_{2}-p_{2},\cdots ,q_{n}-p_{n})$

U trodimenzionalnom prostoru (n = 3) Euklidska udaljenost između p i q je

$\left\|\mathbf {q} -\mathbf {p} \right\|={\sqrt {(\mathbf {q} -\mathbf {p} )\cdot (\mathbf {q} -\mathbf {p} )}}.$

( 2)

ili

$\left\|\mathbf {q} -\mathbf {p} \right\|={\sqrt {\left\|\mathbf {p} \right\|^{2}+\left\|\mathbf {q} \right\|^{2}-2\mathbf {p} \cdot \mathbf {q} }}.$

Jednodimenzionalna udaljenost

u jednodimziomalnom prostoru udaljenost između dvije tačke na realnoj pravoj je apsolutna vrijednost njihove numeričke razlike. Ako su X i Y dvije tačke prave udaljenost između nih je

${\sqrt {(x-y)^{2}}}=|x-y|.$

Dvodimenzionalna udaljenost

Udaljenost dvije tačke (x, y) kod jednog pravouglog trougla:

Dužina horizontalne linije je kateta: $x=x_{1}-x_{2}\,.$

Dužina vertikalne linije je kateta: $y=y_{1}-y_{2}\,.$

Prema tome udaljenost je hipotenuza: ${\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}\,.$

Pojam udaljenosti, koji se upotrebljava u svakodnevnici, odnosi se upravo na Euklidsku udaljenost. Ako su tačke date u polarnim koordinatama onda

${\sqrt {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})}}.$

Trodimenzionalna udaljenost

U trodimenzionalnom prostoru, udaljenost je

$d(p,q)={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+(p_{3}-q_{3})^{2}}}.$

n - domenzionalna udaljenost

U n - dimenzionalnom prostoru, udaljenost je

$d(p,q)={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\cdots +(p_{i}-q_{i})^{2}+\cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}}}.$${\displaystyle }$

Kvadrat Euklidske udaljenosti

Kvadrat Euklidske udaljenosti je

$d^{2}(p,q)=(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\cdots +(p_{i}-q_{i})^{2}+\cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}.$