Euklidska udaljenost

Euklidska udaljenost je najkraći razmak između dvije tačke u jednom prostoru.[1] U jednoj ravni je, primjera radi, definisana po Pitagorinoj teoremi[2]

Definicija

uredi

Euklidova udaljenost između tačaka p i q je dužina segmenta linije koja ih povezuje ( ).

U Kartezijevim koordinatama, ako su   i   dvije tačke Euklidskog n-prostora, onda je udaljenost (d) od P do Q ili od Q do P data pomoću Pitagorine formule:

 

 

 

 

 

( 1)

Položaj tačke u Euklidskom n-prostoru je vektor, tj. p i q su Euklidski vektori. Euklidova norma ili Euklidska udaljenosti su dužine vektora:

 

Vektor se može opisati kao orjentisana duž u Euklidskom prostoru. Ako uzmemo u obzir da je njegova dužina od početka do kraja te duži, postaje jasno da je Euklidska norma vektora poseban slučaj Euklidove udaljenosti:

 

U trodimenzionalnom prostoru (n = 3) Euklidska udaljenost između p i q je

 

 

 

 

 

( 2)

ili

 

Jednodimenzionalna udaljenost

uredi

u jednodimziomalnom prostoru udaljenost između dvije tačke na realnoj pravoj je apsolutna vrijednost njihove numeričke razlike. Ako su X i Y dvije tačke prave udaljenost između nih je

 

Dvodimenzionalna udaljenost

uredi

Udaljenost dvije tačke (x, y) kod jednog pravouglog trougla:

Dužina horizontalne linije je kateta:   [2]

Dužina vertikalne linije je kateta:   [2]

Prema tome udaljenost je hipotenuza:   [2]

Pojam udaljenosti, koji se upotrebljava u svakodnevnici, odnosi se upravo na Euklidsku udaljenost.[2] Ako su tačke date u polarnim koordinatama onda

 

Trodimenzionalna udaljenost

uredi

U trodimenzionalnom prostoru, udaljenost je

 

n - domenzionalna udaljenost

uredi

U n - dimenzionalnom prostoru, udaljenost je

 

Kvadrat Euklidske udaljenosti

uredi

Kvadrat Euklidske udaljenosti je

 

Reference

uredi
  1. ^ [https://web.archive.org/web/20160305035105/http://www.geoinformatik.uni-rostock.de/einzel.asp?ID=644 Arhivirano 5. 3. 2016. na Wayback Machine Euklidska udaljenost, Leksikon matematike na univerzitetu Rostock, Njemačka, njem.] učitano 01.01.2014
  2. ^ a b c d e Euklidska udaljenost, Leksikon matematike na univerzitetu Wuppertal, Njemačka, Arhivirano 21. 6. 2013. na Wayback Machinenjem. učitano 01.01.2014. (Napomena: x1 i x2 - tačke na x-osi, y1 i y2 - na y-osi. Na izvoru su to drugačije označene tačke.)