Kosinusna teorema

(Preusmjereno sa Kosinusni teorem)

Kosinusna teorema se koristi za rješavanje trougla u trigonometrijskoj ravni:

gdje je α ugao nasuprot stranice a.

U sfernoj trigonometriji to je formula za rješavanje sfernog trougla:

gdje je a strana nasuprot ugla A, strana b nasuprot ugla B, a strana C je nasuprot ugla C.

U ravniUredi

U svakom trouglu je   gdje je ugao   nasuprot stranice a

  gdje je ugao   nasuprot stranice b

  gdje je ugao   nasuprot stranice c

Dokaz

Neka je dat je oštrougli trougao ABC sa visinom CD.

Iz pravouglih trouglova BCD i ACD prema Pitagorinoj teoremi je

  zamjenom

  i

  pravouglog trougla ACD dobijamo

  i zamenom u prethodnu jednakost

 

Za tupougli trougao ABC, sa uglom   u tjemenu A, većim od pravog ugla (90°). Visina CD = h pada na produžetak stranice AB u tačku D tako da je D-A-B, te je spoljašnji ugao CAD = 180°-α. U trouglu CAD je

DA =  

trouglovi BCD i ACD su pravougli i, prema Pitagorinoj teoremi imamo

 

 

 

Kosinusna teorema se može dokazati jednostavno i bez razmatranja različitih rasporeda koristeći vektorski račun.

  (   skalarni proizvod.)

Na sličan način dobijamo oatale formule

Za ugao  , imamo   poseban slučaj kosinusne teoreme Pitagorina teorema.

PosljediceUredi

Kvadrat bilo koje stranice trougla manji je, jednak ili veći od zbira kvadrata ostale dvije stranice, zavisno da li je suprotni ugao oštar, prav ili tup.

Dokaz:

Ako je   onda je   i  

Ako je   onda је   i  

Аkо је   ondа је   i  

Važi i obrnuta teorema

Теоrеmа:

Ugao trougla је оštar, рrаv, ili tup zavisno od toga da li je kvadrat suprotne stranice trougla redom je manji, jednak ili veći od zbira kvadrata ostale dvije stranice.

Dokaz:

Ako је   onda je   prema tome je  

Аko је   onda je   tј.  

Ako је   onda је   tј.  

U bilo kojem paralelogramu zbir kvadrata dijagonala jednak je zbiru kvadrata sve četiri njegove strane.

 

 

 

  јер је  

Sabiranjem dobijamo

 

Korištenje teoremeUredi

Teoremu koristimo za rješavanje trougla

  • ako znamo dvije stranice i ugao naspram tražene stranice

 

  • Uglove trougla ako znamo sve tri stranice

 

  • Treča stranica ako znamo dvije stranice i ugao naspram jedne od njih

  Ako se radi pravouglom trouglu koristi se Pitagorina teorema

Koristeći Pitagorin teoremUredi

Tupi ugaoUredi

Teoremu dokazuje Euklid pomoću Pitagorinu teoremu

 

 

 

  [1]

 

Oštri ugaoUredi

 

 





Koristeći Ptolomejevu teoremuUredi

 

 

 


Također pogledajteUredi

IzvoriUredi

ReferenceUredi

  1. ^ Java applet version by Prof. D E Joyce of Clark University.