Hiperbolička funkcija

Hiperboličke funkcije su hiperbolički sinus (sh x), hiperbolički kosinus (ch x), hiperbolički tangens (th x), hiperbolički kotangens (cth x), hiperbolički sekans (sech x) i hiperbolički kosekans (cosech x). Grana matematike koja koristi ove funkcije naziva se hiperbolička trigonometrija. Njima inverzne funkcije imaju prefiks area, što treba razlikovati od prefiksa arkus koji stoji ispred inverznih funkcija obične trigonometrije. Anglosaksonske oznake za hiperboličke funkcije su redom $\sinh x,\;\cosh x,\;\tanh x,\;\coth x,\;\operatorname {sech} x,\;\operatorname {cosech} x,$ odnosno $\operatorname {csc} x,$ i ovde ih češće koristimo zbog praktičnih, softverskih razloga.

Definicije

sinh, cosh i tanh

csch, sech i coth

Za razliku od običnih trigonometrijskih istoimenih funkcija, hiperbolički sinus, kosinus, tangens, kotangens, sekans i kosekans su određeni slijedećim analitičkim definicijama, formulama:

$\sinh x={\frac {1}{2}}\left(e^{x}-e^{-x}\right),\quad \cosh {\frac {1}{2}}\left(e^{x}+e^{-x}\right),$

$\tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}},\quad \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}},$

$\operatorname {sech} x={\frac {1}{\cosh x}},\quad \operatorname {csch} x={\frac {1}{\sinh x}}.$

Porijeklo imena

Funkcije su dobile naziv zbog mogućnosti korištenja parametarskih jednačina (jedne grane) hiperbole:

$x=a\cosh t,\;y=b\sinh t;\;(t\in \mathbb {R} ).$

Trigonometrijska hiperbola

Poput funkcija trigonometrijske kružnice $x^{2}+y^{2}=1,$ definišu se i funkcije jedinične jednakostranične hiperbole $x^{2}-y^{2}=1.$

Predstavljanje redovima

Razvojem hiperboličke funkcije u Taylorov red dobijamo:

$\sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+...,$

$\cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+....$

Trigonometrijska veza

Hiperboličke funkcije se mogu definisati i pomoću običnih trigonometrijskih:

$\sinh ix=i\sin x\,\;i^{2}=-1,$

$\cosh ix=\cos x,\,$

$\tanh ix=i\tan x.\,$

Osobine

Mnoge formule hiperboličkih funkcija su slične odgovarajućim formulama obične trigonometrije:

$\cosh ^{2}x=1+\sinh ^{2}x,\,$

$\operatorname {sech} ^{2}x=1-\tan ^{2}x,\,$

$\sinh(x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y,\,$

$\cosh(x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y,\,$

$\sinh 2x=2\sinh x\cosh x,\,$

$\cosh 2x=\cosh ^{2}x+\sinh ^{2}x.\,$

Kako je $\cosh(-x)=\cosh x,\;\sinh(-x)=-\sinh x,$ to je prva funkcija parna, a druga neparna. Grafik prve je osno simetričan (ordinata, u-osa je osa simetrije), grafik druge je centralno simetričan (ishodište, tačka O je centar simetrije), kao što se vidi na slikama dole.

Lahko je izračunati slijedeće izvode:

${\frac {d}{dx}}(\cosh x)=\sinh x,\;{\frac {d}{dx}}(\sinh x)=\cosh x,\;{\frac {d}{\tanh x}}=\operatorname {sech} ^{2}x.$

Porijeklo

Hiperboličke funkcije su nastale zbog potreba neeuklidske geometrije. Tražeći Euklidovu ravan u svojoj neeuklidovoj geometriji, Lobačevski je pronašao orisferu. Obratno, Euklidovi prostor ima pseudosferu, površ na kojoj važi geometrija Lobačevskog. Ovakva otkrića jednih geometrija u drugima poslužila su za dokaze neprtivrečnosti novih neeuklidovih geometrija, tačnije za dokaze njihove međusobne jednake neprotivriječnosti. Sa druge strane, omogućile su prijenos trigonometrija. Obična trigonometrija orisfere u prostoru Lobačevskog postaje hiperbolička trigonometrija, i obratno.

Također pogledajte

• Matematika
• Geometrija
• Trigonometrija
• Hiperbolička trigonometrija
• Sinus hiperbolički
• Kosinus hiperbolički
• Tangens hiperbolički
• Kotangens hiperbolički
• Sekans hiperbolički
• Kosekans hiperbolički
• Inverzne hiperboličke funkcije