Sinusna teorema

(Preusmjereno sa Sinusni teorem)

Sinusna teorema

gdje su stranice naspram uglova u trouglu a poluprečnik opisanog kruga.

U sfernoj geometriji koristi se


Dokaz

Oko trougla ABC opisana je kružnica poluprečnika R, na slici desno. je prečnik. Periferni uglovi nad istom tetivom jednaki, tj. i periferni ugao nad prečnikom CA' je prav. U pravouglom trouglu A'BC imamo odnosno

Slično dobijamo za uglove

Teorema

Simetrala unutrašnjeg ugla trougla dijeli suprotnu stranicu proporcionalne dijelove naleglim stranicama .

Simetrala dijeli ugao S na dva jednaka dijela

Sinusi suplementnih uglova (koji se dopunjavaju do 180°) su jednaki i prema sinusnoj teoremi za trouglove ACD i DBC dobijamo:

Otuda je

Površina trouglaUredi

 

 


PrimjeriUredi

Sinusna teorema se primjenjuje:

  1. Kada su data dva ugla i jedna stranica
  2. Kada se date dvije stranice i ugao naspram jedne od tih stranica

Primjer 1

Neka su date stranice trougla  , i  , i ugao  .

 
 

Primjer 2

U   Naći dužinu stranice AC.

Rešenje:

 

Prema tome

 .

Primjer 3

U trouglu ABC zadano je   naći AB.

Rešenje:

Iz   proizlazi  

Zatim, iz sinusne teoreme

  tj.

  dobijamo  

Prema tome, stranica AB = 18,57.

Odnos prema kružniciUredi

Iz identiteta

 

Također pogledajteUredi

Vanjski linkoviUredi