Sinusna teorema
a
sin
α
=
b
sin
β
=
c
sin
γ
=
2
R
,
{\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R,}
a
,
b
,
c
{\displaystyle \ a,b,c}
α
,
β
,
γ
,
{\displaystyle \alpha ,\;\beta ,\;\gamma ,}
A
B
C
,
{\displaystyle \ ABC,}
R
{\displaystyle \ R}
kruga .
U sfernoj geometriji koristi se
sin
a
sin
A
=
sin
b
sin
B
=
sin
c
sin
C
.
{\displaystyle {\frac {\sin a}{\sin A}}={\frac {\sin b}{\sin B}}={\frac {\sin c}{\sin C}}.}
Oko trougla ABC opisana je kružnica poluprečnika R, na slici desno.
C
A
′
=
2
R
{\displaystyle CA'=2R}
B
C
=
a
{\displaystyle BC=a}
α
=
∠
B
A
C
=
∠
B
A
′
C
,
{\displaystyle \alpha =\angle BAC=\angle BA'C,}
∠
C
B
A
′
{\displaystyle \angle CBA'}
sin
α
=
a
2
R
,
{\displaystyle \sin \alpha ={\frac {a}{2R}},}
a
sin
α
=
2
R
.
{\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}=2R.}
Slično dobijamo za uglove
β
,
γ
{\displaystyle \beta ,\;\gamma }
Teorema
Simetrala unutrašnjeg ugla trougla dijeli suprotnu stranicu proporcionalne dijelove naleglim stranicama .
Simetrala dijeli ugao S na dva jednaka dijela
∠
A
C
D
=
∠
D
C
B
=
ϕ
,
(
∠
C
=
γ
=
2
ϕ
)
.
{\displaystyle \angle ACD=\angle DCB=\phi ,\;(\angle C=\gamma =2\phi ).}
Sinusi suplementnih uglova (koji se dopunjavaju do 180°) su jednaki i prema sinusnoj teoremi za trouglove ACD i DBC dobijamo:
A
D
:
A
C
=
sin
ϕ
:
sin
θ
,
D
B
:
C
B
=
sin
ϕ
:
sin
θ
.
{\displaystyle AD:AC=\sin \phi :\sin \theta ,\quad DB:CB=\sin \phi :\sin \theta .}
A
D
:
A
C
=
D
B
:
C
B
,
{\displaystyle \ AD:AC=DB:CB,}
P
=
1
2
b
(
c
sin
γ
)
=
1
2
c
(
a
sin
β
)
=
1
2
a
(
b
sin
γ
)
.
{\displaystyle P={\frac {1}{2}}b(c\sin \gamma )={\frac {1}{2}}c(a\sin \beta )={\frac {1}{2}}a(b\sin \gamma )\,.}
2
P
a
b
c
=
sin
α
a
=
sin
β
b
=
sin
γ
c
.
{\displaystyle {\frac {2P}{abc}}={\frac {\sin \alpha }{a}}={\frac {\sin \beta }{b}}={\frac {\sin \gamma }{c}}\,.}
Sinusna teorema se primjenjuje:
Kada su data dva ugla i jedna stranica
Kada se date dvije stranice i ugao naspram jedne od tih stranica Primjer 1
Neka su date stranice trougla
a
=
20
{\displaystyle a=20}
c
=
24
{\displaystyle c=24}
γ
=
40
∘
{\displaystyle \gamma =40^{\circ }}
sin
α
20
=
sin
40
∘
24
.
{\displaystyle {\frac {\sin \alpha }{20}}={\frac {\sin 40^{\circ }}{24}}.}
α
=
arcsin
(
20
sin
40
∘
24
)
≈
32.39
∘
.
{\displaystyle \alpha =\arcsin \left({\frac {20\sin 40^{\circ }}{24}}\right)\approx 32.39^{\circ }.}
Primjer 2
U
Δ
A
B
C
,
B
C
=
7
,
∠
A
=
41
∘
,
∠
B
=
62
∘
.
{\displaystyle \Delta ABC,\;BC=7,\;\angle A=41^{\circ },\;\angle B=62^{\circ }.}
Rešenje:
7
sin
41
∘
=
b
sin
62
∘
⇒
b
=
7
sin
62
∘
sin
41
∘
=
9,420
8....
{\displaystyle {\frac {7}{\sin 41^{\circ }}}={\frac {b}{\sin 62^{\circ }}}\Rightarrow b={\frac {7\sin 62^{\circ }}{\sin 41^{\circ }}}=9{,}4208....}
Prema tome
A
C
=
9
,
42
{\displaystyle AC=9{,}42}
Primjer 3
U trouglu ABC zadano je
A
C
=
15
,
∠
A
=
107
∘
,
∠
B
=
32
∘
{\displaystyle AC=15,\;\angle A=107^{\circ },\;\angle B=32^{\circ }}
Rešenje:
Iz
∠
A
+
∠
B
+
∠
C
=
180
∘
,
{\displaystyle \angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ },}
∠
C
=
41
∘
.
{\displaystyle \angle C=41^{\circ }.}
Zatim, iz sinusne teoreme
b
sin
B
=
c
sin
C
,
{\displaystyle {\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}},}
15
sin
32
∘
=
c
sin
41
∘
,
{\displaystyle {\frac {15}{\sin 32^{\circ }}}={\frac {c}{\sin 41^{\circ }}},}
c
=
15
⋅
sin
41
∘
sin
32
∘
=
18,570
5....
{\displaystyle c={\frac {15\cdot \sin 41^{\circ }}{\sin 32^{\circ }}}=18{,}5705....}
Prema tome, stranica AB = 18,57.
uredi
Iz identiteta
a
sin
A
=
b
sin
B
=
c
sin
C
,
{\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}\,=\,{\frac {b}{\sin B}}\,=\,{\frac {c}{\sin C}},\!}
