Pravilo derivacije proizvoda

U matematici, pravilo derivacije proizvoda u kalkulusu (također se naziva i Leibnizov zakon; pogledajte članak derivacija), je pravilo diferenciranja proizvoda diferencijabilnih funkcija.

Teme u kalkulusu

Fundamentalni teorem
Limesi funkcija
Kontinuitet
Teorem srednje vrijednosti

Zakon glasi:

ili direktno po Leibnizu:

Otkriće od strane LeibnizaUredi

Otkriće ovog pravila pripisano je Leibnizu, koji ga je dokazao koristeći diferencijale. Leibnizovi argumenti su bili sljedeći:

Neka su u(x) i v(x) dvije diferencijabilne funkcije od x. Tada je diferencijal od uv

   
 

Pošto je (du) i (dv) zanemarljivo, Leibniz je zaključio da je

 

što je, uistinu, diferencijalna forma pravila izvoda proizvoda. Ako sve podijelimo sa diferencijalom dx, dobit ćemo

 

koje se može napisati i kao

 

DokazUredi

Rigorozni dokaz pravila izvoda proizvoda možemo dobiti koristeći se osobinama limesa i definicijom derivacije, kao limes Newtonovog diferencijalnog priraštaja.

Pretpostavimo

 

i da su i f i g diferencijabilne u fiksnom broju x. Tada je

 

Sada razlika

 

predstavlja površinu velikog pravougaonika minus površina drugog pravougaonika da donjoj ilustraciji.

Površina u obliku slova "L" može se podijeliti na dva pravougaonika

 

Zbog toga, izraz (1) jednak je

 

Ako sva četiri limesa iz (5) postoje, onda je izraz (4) jednak

 

Sada

 

jer f(x) ostaje konstanta kao wx;

 

jer je g diferencijabilna u x;

 

jer je f diferencijabilna u x;

Na kraju je

 

jer je g neprekidna u x. Kako znamo da je g neprekidna u x? Jer druga teorema kaže da su diferencijabilne funkcije neprekidne.

Zaključujemo da je izraz (5) jednak

 

Također pogledajteUredi