Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljen izvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe pouzdanim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti izbrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
U kalkulusu , i generalno, u matematičkoj analizi , parcijalna integracija je pravilo koji transformiše integrale proizvoda funkcija je druge, vjerovatno jednostavnije integrale. Do ovog pravila dolazimo preko diferencijacije pravila derivacije proizvoda .
Pretpostavimo da su f (x ) i g (x ) dvije više puta diferencijabilne funkcije . Tada pravilo parcijalne integracije kaže da kada imamo intervale sa krajnjim tačkama a i b , dobijamo
∫
a
b
f
(
x
)
g
′
(
x
)
d
x
=
[
f
(
x
)
g
(
x
)
]
a
b
−
∫
a
b
f
′
(
x
)
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,dx=\left[f(x)g(x)\right]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(x)g(x)\,dx}
[
f
(
x
)
g
(
x
)
]
a
b
=
f
(
b
)
g
(
b
)
−
f
(
a
)
g
(
a
)
.
{\displaystyle \left[f(x)g(x)\right]_{a}^{b}=f(b)g(b)-f(a)g(a).}
Pravilo se dokazuje pravilom derivacije proizvoda i fundamentalnom teoremom kalkulusa . Zbog toga je
f
(
b
)
g
(
b
)
−
f
(
a
)
g
(
a
)
{\displaystyle f(b)g(b)-f(a)g(a)\,}
=
∫
a
b
d
d
x
(
f
(
x
)
g
(
x
)
)
d
x
{\displaystyle =\int _{a}^{b}{\frac {d}{dx}}(f(x)g(x))\,dx}
=
∫
a
b
f
′
(
x
)
g
(
x
)
d
x
+
∫
a
b
f
(
x
)
g
′
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle =\int _{a}^{b}f'(x)g(x)\,dx+\int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,dx.}
U tradicionalnom kalkulusu, ovo pravilo se koristi kod neodređenog integrala u formi
∫
f
(
x
)
g
′
(
x
)
d
x
=
f
(
x
)
g
(
x
)
−
∫
f
′
(
x
)
g
(
x
)
d
x
,
{\displaystyle \int f(x)g'(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,dx,}
ili u kraćoj formi, ako napišemo u = f (x ), v = g (x ) i diferencijali du = f ′(x ) dx i dv = g ′(x ) dx . Tada je u formi u kojoj je najčešće susrećemo:
∫
u
d
v
=
u
v
−
∫
v
d
u
.
{\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du.}
Kako bi izračunali
∫
x
cos
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int x\cos(x)\,dx}
napišemo:
u = x , tako da je du = dx ,dv = cos(x ) dx , tako da je v = sin(x ).Zatim:
∫
x
cos
(
x
)
d
x
=
∫
u
d
v
=
u
v
−
∫
v
d
u
=
x
sin
(
x
)
−
∫
sin
(
x
)
d
x
=
x
sin
(
x
)
+
cos
(
x
)
+
C
{\displaystyle {\begin{aligned}\int x\cos(x)\,dx&=\int u\,dv\\&=uv-\int v\,du\\&=x\sin(x)-\int \sin(x)\,dx\\&=x\sin(x)+\cos(x)+C\end{aligned}}}
gdje je C arbitražna konstanta integracije .
Ako iznova koristimo parcijalnu integraciju, integrali kao što su
∫
x
3
sin
(
x
)
d
x
ili
∫
x
2
e
x
d
x
{\displaystyle \int x^{3}\sin(x)\,dx\quad {\mbox{ili}}\quad \int x^{2}e^{x}\,dx}
mogu se izračunati veoma lagano: ponavljanje ovog postupka smanjuje potenciju x za jedan.
Interesantan primjer je sljedeći:
∫
e
x
cos
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int e^{x}\cos(x)\,dx}
gdje se, na kraju, ne mora primjenjivati stvarna integracija.
Kod ovog primjere, parcijalna integracija se primjeni dva puta. Kao prvo, napišimo:
u = cos(x ); tako da je du = -sin(x )dx dv = ex x ; tako da je v = ex Zatim:
∫
e
x
cos
(
x
)
d
x
=
e
x
cos
(
x
)
+
∫
e
x
sin
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int e^{x}\cos(x)\,dx=e^{x}\cos(x)+\int e^{x}\sin(x)\,dx}
Sada, kako bi izračunali integral koji nam je ostao, ponovo koristimo parcijalnu integraciju, sa:
u = sin(x ); du = cos(x )dx v = ex v = ex x Zatim:
∫
e
x
sin
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int e^{x}\sin(x)\,dx}
=
e
x
sin
(
x
)
−
∫
e
x
cos
(
x
)
d
x
{\displaystyle =e^{x}\sin(x)-\int e^{x}\cos(x)\,dx}
Sklopivši sve to zajedno, dobijamo
∫
e
x
cos
(
x
)
d
x
=
e
x
cos
(
x
)
+
e
x
sin
(
x
)
−
∫
e
x
cos
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int e^{x}\cos(x)\,dx=e^{x}\cos(x)+e^{x}\sin(x)-\int e^{x}\cos(x)\,dx}
Primijetimo da se isti integral pojavljuje na obje strane jednačine. Prebacimo sve na jednu stranu i dobijamo:
2
∫
e
x
cos
(
x
)
d
x
=
e
x
(
sin
(
x
)
+
cos
(
x
)
)
{\displaystyle 2\int e^{x}\cos(x)\,dx=e^{x}(\sin(x)+\cos(x))}
∫
e
x
cos
(
x
)
d
x
=
e
x
(
sin
(
x
)
+
cos
(
x
)
)
2
{\displaystyle \int e^{x}\cos(x)\,dx={e^{x}(\sin(x)+\cos(x)) \over 2}}
Još dva dobro poznata primjera primjene parcijalne integracije je kada je funkcija izražena kao proizvod 1 i same sebe.
Prvi primjer je ∫ ln(x ) dx . Ovo pišemo kao:
∫
ln
(
x
)
⋅
1
d
x
{\displaystyle \int \ln(x)\cdot 1\,dx}
Napišimo:
u = ln(x ); du = 1/x dx v = x ; dv = 1·dx Zatim:
∫
ln
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int \ln(x)\,dx}
=
x
ln
(
x
)
−
∫
x
x
d
x
{\displaystyle =x\ln(x)-\int {\frac {x}{x}}\,dx}
=
x
ln
(
x
)
−
∫
1
d
x
{\displaystyle =x\ln(x)-\int 1\,dx}
∫
ln
(
x
)
d
x
=
x
ln
(
x
)
−
x
+
C
{\displaystyle \int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-{x}+{C}}
∫
ln
(
x
)
d
x
=
x
(
ln
(
x
)
−
1
)
+
C
{\displaystyle \int \ln(x)\,dx=x(\ln(x)-1)+C}
gdje je, ponovo, C arbitražna konstanta integracije
Drugi primjer je ∫ arctan(x ) dx , gdje je arctan(x ) inverzna tangensna funkcija . Ovo ponovo napišemo kao:
∫
arctan
(
x
)
⋅
1
d
x
{\displaystyle \int \arctan(x)\cdot 1\,dx}
Napišimo:
u = arctan(x ); du = 1/(1+x 2 ) dx v = x ; dv = 1·dx Zatim:
∫
arctan
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int \arctan(x)\,dx}
=
x
arctan
(
x
)
−
∫
x
1
+
x
2
d
x
{\displaystyle =x\arctan(x)-\int {\frac {x}{1+x^{2}}}\,dx}
=
x
arctan
(
x
)
−
1
2
ln
(
1
+
x
2
)
+
C
{\displaystyle =x\arctan(x)-{1 \over 2}\ln \left(1+x^{2}\right)+C}
koristeći kombinaciju pravilo inverzne derivacije složene funkcije i uslov integriranja prirodnog logaritma .
Ovaj odlomak potrebno je proširiti .
uredi
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,dx=\left[f(x)g(x)\right]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(x)g(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f063b6b8950ae84eb90684ce93c7d4ef13838d8)
![{\displaystyle \left[f(x)g(x)\right]_{a}^{b}=f(b)g(b)-f(a)g(a).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/254c72061ba797f0b611f1b4342e1ed2d2083282)
