Otvori glavni meni
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web-stranice ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe pouzdanim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti obrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

U matematici, matrica je pravougaona tabela brojeva, ili općenito, tabela koja se sastoji od apstraktnih objekata koji se mogu sabirati i množiti.

Matrice se koriste za opisivanje linearnih jednačina, za praćenje koeficijenata linearnih transformacija, kao i za čuvanje podataka koji ovise od dva parametra. Matrice se mogu sabirati, množiti i razlagati na razne načine, što ih čini ključnim konceptom u linearnoj algebri i teoriji matrica.

Organizacija matrice

Definicije i notacijeUredi

Horizontalne se linije u matrici zovu retcima, a vertikalne stupcima matrice. Matrica sa m redaka i n stupaca se naziva m-sa-n matricom (kaže se i zapisuje da je formata m×n) a m i n su dimenzije matrice.

Član matrice A koji se nalazi u i-tom retku i j-tom stupcu se naziva (i,j)-ti član matrice A. Ovo se zapisuje kao Ai,j ili A[i,j]. Uvijek se prvo naznačuje redak, pa stupac.

Često se piše   kako bi se definirala m × n matrica A čiji se svaki član A[i,j] naziva ai,j za sve 1 ≤ im i 1 ≤ jn. Međutim, konvencija da i i j počinju od 1 nije univerzalna: neki programski jezici započinju od nule, u kom slučaju imamo 0 ≤ im − 1 i 0 ≤ jn − 1.

Matricu čija je jedna od dimenzija jednaka jedinici često nazivamo vektorom, i interpretiramo je kao element realnog koordinatnog prostora. 1 × n matrica (jedan redak i n stupaca) se naziva vektor redak, a m × 1 matrica (jedan stupac i m redaka) se naziva vektor stupac.

Matrice imaju oblik [1]

 

Za matricu koja ima m redova i n kolona, kaže se da je tipa  .

Za matricu koja je   tipa kažemo da je pravougaona matrica.

Za matricu kod koje je broj redova jednak broju kolona tj  , kažemo da je kvadratna matrica reda  .

Elementi kvadratne matrice   (reda n)   čine glavnu dijagonalu matrice.

Matrica   se označava sa  

Primjer

Matrica

 

je 4×3 matrica. Element A[2,3] ili a2,3 je 7.

Matrica

 

je 1×9 matrica, ili vektor redak sa 9 elemenata.

Kvadratna matrica kod koje su svi elementi ispod ili iznad glavne dijagonale jednaki nuli je trouglasta matrica Može biti gornja trouglasta ako je   za   i donja trouglasta ako je   za  

Kvadratna matrica, čiji su svi elementi van glavne dijagonale jednaki nuli zove se dijagonalna matrica.   za  


Vrsta matrice matrica reda  
Dijagonalna matrica  
donja trouglasta matrica  
gornja trouglasta matrica  

Dijagonalna matrica čiji su svi elementi na glavnoj dijagonali međusobno jednaki, naziva se skalarna matrica.  

Dijagonalna matrica čiji su svi elementi na glavnoj dijagonali jednaki jedinici, naziva se jedinična matrica (ili identična matrica) i obiljeležava se sa I tj  

Primjer

  je jedinična matrica tipa  

Matrica   je podmatrica ili submatrica matrice  , ako izostavljanjem nekih vrsta i kolona matrice   možemo dobiti matricu  .

Neka je   matrica tipa   komatrica matrice A je njena podmatrica koja nastaje uklanjanjem i-tog reda i j-te kolone matrice A i obilježavamo je sa  .

Sabiranje i množenje matricaUredi

SabiranjeUredi

Ako su date matrice A i B, dimenzija m-sa-n, njihov zbir A + B je m-sa-n matrica, izračunata sabiranjem odgovarajućih elemenata (t.j. (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j] ). Naprimjer:

 
Primjer

Neka je

 

 

Osobine
  1.   komutativnost
  2.   asocijativnost
  3.  
  4.  [2]

Množenje skalaromUredi

Ako uzmemo matricu A i broj c, skalarni produkt cA se računa množenjem skalarom c svakog elementa A (t.j. (cA)[i, j] = cA[i, j] ). Naprimjer:

 

Operacije sabiranja i množenja skalarom pretvaraju skup M(m, n, R) svih m-sa-n matrica sa realnim članovima u realni vektorski prostor dimenzije mn.

Osobine
  1.  
  2.  
  3.  
  4.  [3]

Množenje matricaUredi

Množenje dvije matrice je dobro definisano samo ako je broj stupaca lijeve matrice jednak broju redaka desne matrice. Ako je A matrica dimenzija m-sa-n, a B je matrica dimenzija n-sa-p, tada je njihov proizvod AB matrica dimenzija m-sa-p (m redaka, p stupaca) dat formulom:

 

za svaki par i i j.

Na primjer:

 
 

Množenje matrica ima sljedeće osobine:

  • (AB)C = A(BC) za sve k-sa-m matrice A, m-sa-n matrice B i n-sa-p matrice C (asocijativnost).
  • (A + B)C = AC + BC za sve m-sa-n matrice A i B i n-sa-k matrice C (desna distributivnost).
  • C(A + B) = CA + CB za sve m-sa-n matrice A i B i k-sa-m matrice C (lijeva distributivnost).
  •  
  •  
  • ( 

Valja znati da komutativnost ne vrijedi u općem slučaju; ako su date matrice A i B, čak i ako su oba umnoška definirana, u općem slučaju je ABBA.[4]

Množenje matrica nije komutativno

Posebno, skup M(n, R) svih kvadratnih matrica reda n je realna asocijativna algebra sa jedinicom, koja je nekomutativna za n ≥ 2.

Stepenovanje matricaUredi

 

 

 

Po definiciji je

 

Transponovana matricaUredi

Transponovana matrica matrice

 

je matrica   oblika   tj

 

Primjer

Ako je

  onda je

 

Kvadratna matrica   je: simetrična tj  , tj.   za sve   antisimetrična

  tj   za sve  . Tada je i   za sve  

Osobine transponiranjaUredi

  1.  
  2.  
  3. ( 
  4.   [5]

Inverzna matricaUredi

Ako za matricu   postoji matrica   takva da je   onda je   inverzna matrica

Inverzna matrica definiraana je samo za (neke) kvadratne matrice i pri tome vrijedi ako je   ranga n onda je i   ranga n Ako kvadratna matrica ima inverznu, nazivamo je regularna. U protivnom je singularna.

Ako postoji inverzna matrica, ona je jedinstvena. Odnosno Ako su   i   inverzne matrice od   onda je

 

OsobineUredi

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Jednakost matricaUredi

Matrice A i B su jednake ako i samo ako su istog reda i svi odgovarajući elementi su im međusobno jednaki.

 

Linearne transformacije, rang, transponirana matricaUredi

Matrice mogu na zgodan način predstaviti linearne transformacije jer množenje matrica odgovara slaganju preslikavanja, kao što će dalje biti opisano. Upravo ovo svojstvo matrice čini moćnom strukturom podataka u višim programskim jezicima.

Ovdje i u nastavku, promatramo Rn kao skup stupaca ili n-sa-1 matrica. Za svako linearno preslikavanje f : RnRm postoji jedinstvena m-sa-n matrica A, takva da f(x) = Ax za svako x u Rn. Kažemo da matrica A predstavlja linearno preslikavanje f. Ako k-sa-m matrica B predstavlja drugo linearno preslikavanje g : RmRk, tada je njihova kompozicija g o f također linearno preslikavanje RmRn, i predstavljeno je upravo matricom BA. Ovo slijedi iz gore pomenute asocijativnosti množenja matrica.

Općenito, linearno preslikavanje iz n-dimenzionog vektorskog prostora u m-dimenzioni vektorski prostor je predstavljeno m-sa-n matricom, ako su izabrane baze za svaki.

Rang matrice A je dimenzija slike linearnog preslikavanja predstavljenog sa A; ona je ista kao dimenzija prostora generiranog retcima A, i također je iste dimenzije kao prostor generiran stupcima A.

Transponirana matrica, matrice m-sa-n, A je n-sa-m matrica Atr (nekad se zapisuje i kao AT ili tA), koja nastaje pretvaranjem stupaca u retke i redaka u stupce, to jest Atr[i, j] = A[j, i] za svaki i i j. Ako A predstavlja linearno preslikavanje u odnosu na dvije baze, tada matrica Atr predstavlja linearno preslikavanje u odnosu na dualne baze (Vidi: Dualni prostor).

Vrijedi (A + B)tr = Atr + Btr i (AB)tr = Btr Atr.

Također pogledajteUredi

ReferenceUredi

Vanjski linkoviUredi