Red veličine

Red veličine je aproksimacija logaritamske vrijednosti u odnosu na neku kontekstualno shvaćenu referentnu vrijednost, obično 10, koja se tumači kao osnova logaritma i predstavnik vrijednosti veličine jedan. Logaritamske distribucije su uobičajene prirodne i uzimajući u obzir red veličine vrijednosti uzorkovanih iz takve distribucije može biti intuitivnije. Kada je referentna vrijednost 10, red veličine se može shvatiti kao broj cifara u osnovnoj 10 predstavi vrijednosti. Slično tome, ako je referentna vrijednost jedna od nekih stepena 2, pošto računari pohranjuju podatke u binarnom formatu, veličina se može razumjeti u smislu količine računarske memorije potrebne za pohranjivanje te vrijednosti.

Razlike po redu veličine mogu se izmjeriti na bazi 10 logaritamske skale u "decenijama" (tj. faktori od deset).^[1] Primjeri brojeva različitih veličina mogu se naći na Red veličina (brojevi).

Definicija

Općenito, red veličine broja je najmanji stepen od 10 koji se koristi za predstavljanje tog broja.^[2] Da bi se odredio red veličine broja $N$ , broj se prvo izražava u sljedećem obliku:

N=a\times 10^{b}

where ${\frac {1}{\sqrt {10}}}\leq a<{\sqrt {10}}$ ili približno $0.316\lesssim a\lesssim 3.16$ . Zatim, $b$ predstavlja red veličine broja. Red veličine može biti bilo koji integer. Tabela ispod nabraja red veličine nekih brojeva u svjetlu ove definicije:

Broj $N$	Izraz u $N=a\times 10^{b}$	Red veličine $b$
0,2	2 × 10⁻¹	−1
1	1 × 10⁰	0
5	0,5 × 10¹	1
6	0,6 × 10¹	1
31	3,1 × 10¹	1
32	0,32 × 10²	2
999	0,999 × 10³	3
1000	1 × 10³	3

Geometrijska sredina od $10^{b-1/2}$ i $10^{b+1/2}$ je $10^{b}$ , što znači da vrijednost od tačno $10^{b}$ (tj., $a=1$ ) predstavlja geometrijsku tačku na pola puta unutar raspona mogućih vrijednosti od $a$ .

Neki koriste jednostavniju definiciju gdje je $0,5<a\leq 5$ , možda zato što je aritmetička sredina od $10^{b}$ i $10^{b+c}$ se približava $5\times 10^{b+c-1}$ za povećanje $c$ . Ova definicija ima efekat blagog smanjenja vrijednosti $b$ :

Broj $N$	Izraz u $N=a\times 10^{b}$	Red veličine $b$
0.2	2 × 10⁻¹	−1
1	1 × 10⁰	0
5	5 × 10⁰	0
6	0,6 × 10¹	1
31	3,1 × 10¹	1
32	3,2 × 10¹	1
999	0,999 × 10³	3
1000	1 × 10³	3

Drugi pak ograničavaju $a$ na vrijednosti gdje je $1\leq a<10$ , čineći red veličine broja tačno jednakim njegovom eksponentnom dijelu u naučnih notacija.

Upotreba

Redovi veličine se koriste za približna poređenja. Ako se brojevi razlikuju za jedan red veličine, x je oko deset puta različit u količini od y. Ako se vrijednosti razlikuju za dva reda veličine, razlikuju se za faktor od oko 100. Dva broja istog reda veličine imaju otprilike istu skalu: veća vrijednost je manja od deset puta manja vrijednost. Sve veće količine internetskih podataka dovele su do dodavanja novih prefiksa tokom vremena, posljednji put 2022. godine.^[3]

Riječima	Prefiks (Simbol)	Decimala	Potencija po deset	Red veličina
Nonilionti	Kvekto- (q)	6971100000000000000♠0	10⁻³⁰	−30
Oktilionti	Ronto- (r)	6974100000000000000♠0	10⁻²⁷	−27
Septilionti	Jokto- (y)	6977100000000099999♠0	10⁻²⁴	−24
Sekstilionti	Zepto- (z)	6980100009999999999♠0	10⁻²¹	−21
Kvintilionti	Ato- (a)	6983100000000000000♠0	10⁻¹⁸	−18
Kvadrilionti	Femto- (f)	6986100000000000000♠0	10⁻¹⁵	−15
Trilionti	Piko- (p)	6989100009999900000♠0	10⁻¹²	−12
Milijarditi	Nano- (n)	6992100000000000000♠0	10⁻⁹	−9
Milionti	Mikro- (µ)	6995100009999999999♠0	10⁻⁶	−6
Hiljaditi	Mili- (m)	0,001	10⁻³	−3
Stoti	Centi- (c)	0,01	10⁻²	−2
Deseti	Deci- (d)	0,1	10⁻¹	−1
Jedan		1	10⁰	0
Deset	Deka- (da)	10	10¹	1
Stotinu	hecto- (h)	100	10²	2
Hiljadu	Kilo- (k)	7003100000000000000♠1.000	10³	3
Milion	Mega- (M)	7006100000000000000♠1.000.000	10⁶	6
Milijarda	Giga- (G)	7009100000000000000♠1.000.000.000	10⁹	9
Trilion	Tera- (T)	7012100000000000000♠1.000.000.000.000	10¹²	12
Kvadrilion	Peta- (P)	7016100000000000000♠1.000.000.000.000.000	10¹⁵	15
Kvintilion	Eksa- (E)	7019100000000000000♠1.000.000.000.000.000.000	10¹⁸	18
Sekstilion	Zeta- (Z)	7022100000000000000♠1.000.000.000.000.000.000.000	10²¹	21
Septilion	Jota- (Y)	7025099999999999999♠1.000.000.000.000.000.000.000.000	10²⁴	24
Oktilion	Rona- (R)	7028099999999900000♠1.000.000.000.000.000.000.000.000.000	10²⁷	27
Nonilion	Kveta- (Q)	7031100000000000000♠1.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000	10³⁰	30
Riječima	Prefiks (Simbol)	Decimala	Potencija po deset	Red veličina

Izračunavanje reda veličine

Red veličine broja je, intuitivno govoreći, broj stepena 10 sadržanih u broju. Preciznije, red veličine broja može se definirati u terminima uobičajenog logaritma, obično kao cijeli broj dijela logaritma, dobijenog skraćenjem. Naprimjer, broj 7006400000000000000♠4.000.000 ima logaritam (u bazi 10) od 6,602; njegov red veličine je 6. Prilikom skraćivanja, broj ovog reda veličine je između 10⁶ i 10⁷. U sličnom primjeru, uz frazu "Imao je sedmocifreni prihod", red veličine je broj cifara minus jedan, pa se vrlo lahko bez kalkulatora određuje na 6. Red veličine je približna pozicija na logaritamskoj skali.

Procjena reda veličine

Procjena reda veličine varijable, čija je precizna vrijednost nepoznata, je procjena zaokružena na najbližu potenciju od deset. Naprimjer, procjena reda veličine za varijablu između oko 3 milijarde i 30 milijardi (kao što je ljudska populacija na Zemlji) je 10 milijarde. Da biste zaokružili broj na najbliži red veličine, jedan zaokružuje njegov logaritam na najbliži cijeli broj. Tako 7006400000000000000♠4.000.000, koji ima logaritam (u bazi 10) od 6,602, ima 7 kao najbliži red veličine, jer "najbliži" implicira zaokruživanje, a ne skraćivanje. Za broj napisan u naučnoj notaciji, ova skala logaritamskog zaokruživanja zahtijeva zaokruživanje na sljedeći stepen od deset kada je množitelj veći od kvadratnog korijena iz deset (oko 3,162). Naprimjer, najbliži red veličine za 7008170000000000000♠1,7×10⁸ je 8, dok je najbliži red veličine za 7008370000000000000♠3,7×10⁸ 9. Red veličine procjena se ponekad naziva i aproksimacija nultog reda.

Razlika u redu veličine

Razlika u redu veličine između dvije vrijednosti je faktor 10. Naprimjer, masa planete Saturn je 95 puta veća od Zemlje, tako da je Saturn "dva reda veličine" ' masivniji od Zemlje. Razlike u redu veličine nazivaju se dekade kada se mjere na logaritamskoj skali.

Nedecimalni redovi veličina

Drugi redovi veličina mogu se izračunati korišćenjem baza različitih od 10. Stari Grci su rangirali noćni sjaj nebeskih tijela sa 6 nivoa u kojima je svaki nivo bio peti korijen od sto (oko 2,512) svijetlih kao najbliži slabiji nivo svjetline, i stoga je najsvjetliji nivo 5 redova magnitude svjetliji od najslabijeg pokazuje da je (100^1/5)⁵ ili faktor 100 puta svjetliji.

Različiti decimalni numerički sistemi svijeta koriste veću bazu kako bi bolje zamislili veličinu broja i stvorili su nazive za moći ove veće baze. Tabela pokazuje na koji broj cilja red veličine za bazu 10 i za bazu 7006100000000000000♠1.000.000. Može se vidjeti da je red veličine uključen u naziv broja u ovom primjeru, jer bi- znači 2 i tri- znači 3 (ovo ima smisla samo u dugoj skali), a sufiks -ilion govori da je osnova 7006100000000000000♠1.000.000. Ali sami nazivi brojeva bilion, trilion (ovde sa drugo značenje nego u prvom poglavlju) nisu nazivi redova veličina, oni su imena veličina, tj. su brojevi 7012100000000000000♠1.000.000.000.000 itd.

Red veličine	je log₁₀ od	log_{7006100000000000000♠1.000.000} od	Kratka skala	Duga skala
1	7001100000000000000♠10	7006100000000000000♠1.000.000	miliona	miliona
2	7002100000000000000♠100	7012100000000000000♠1.000.000.000.000	Milijarda	milijardi
3	7003100000000000000♠1.000	7019100000000000000♠1.000.000.000.000.000.000	Kvintilion	Trilion

SI jedinice u tabeli desno koriste se zajedno sa SI prefiksima, koji su osmišljeni sa uglavnom osnovnim 1000 magnituda na umu. IEC standardni prefiksi sa osnovom 1024 izmišljeni su za upotrebu u elektronskoj tehnologiji.

Drevne prividne magnitude za sjaj zvijezda koristi bazu Parsiranje nije uspjelo (nepoznata funkcija "\approximatelly"): {\displaystyle \sqrt[5]{100} \approximatelly 2.512} i obrnuto. Modernizirana verzija se, međutim, pretvorila u logaritamsku skalu s necjelobrojnim vrijednostima.

Ekstremno veliki brojevi

Za ekstremno velike brojeve, generalizovani red veličine može se zasnivati na njihovom dvostruki logaritam ili super-logaritam. Zaokruživanje ovih naniže na cijeli broj daje kategorije između vrlo "okruglih brojeva", zaokružujući ih na najbliži cijeli broj i primjenom inverzne funkcije daje "najbliži" okrugli broj.

Dvostruki logaritam daje kategorije:: ..., 1.0023–1.023, 1.023–1.26, 1.26–10, 10–10¹⁰, 10¹⁰–10¹⁰⁰, 10¹⁰⁰–10^{7003100000000000000♠1.000}, ... (prva dva spomenuta, i proširenje lijevo, možda neće biti od velike koristi, oni samo pokazuju kako se niz matematički nastavlja lijevo).

Superlogaritam daje kategorije:

0–1, 1–10, 10–10¹⁰, 10¹⁰–10^10¹⁰, 10^10¹⁰–10^{10^10¹⁰}, ... ili

0–⁰10, ⁰10–¹10, ¹10–²10, ²10–³10, ³10–⁴10, ...

"Središnjice" koje određuju koji je okrugli broj bliži su u prvom slučaju:

1.076, 2.071, 1453, 4,2×10³¹, 1,69×10³¹⁶,...

i, zavisno od metode interpolacije, u drugom slučaju

−0.301, 0.5, 3.162, 1.453, 1×10^1.453,

(10\uparrow )^{1}10^{1453}

,

(10\uparrow )^{2}10^{1453}

,... (vidi zapis izuzetno velikih brojeva)

Za izuzetno male brojeve (u smislu blizu nule) nijedna metoda nije prikladna direktno, ali se može uzeti u obzir generalizovani recipročni red veličine.

Slično kao logaritamska skala može imati dvostruku logaritamsku skalu (primer dat ovde) i superlogaritamsku skalu. Intervali iznad svih imaju istu dužinu na sebi, sa "sredinama" zapravo na sredini. Općenito, tačka na sredini između dvije tačke odgovara generalizovanoj f-sredini sa f(x) odgovarajućim dnevnikom funkcije x ili slog x. U slučaju log log x, ova srednja vrijednost dva broja (npr. 2 i 16 daju 4) ne ovisi o osnovici logaritma, baš kao u slučaju log x (geometrijska sredina, 2 i 8 daju 4), ali za razliku od slučaja dnevnika dnevnika x (4 i 7004655360000000000♠65.536 daju 16 ako je osnova 2, ali ne drugačije).

Također pogledajte

Reference

^ Brians, Paus. "Orders of Magnitude". Arhivirano s originala, 22. 4. 2017. Pristupljeno 9. 5. 2013.
^ "Order of Magnitude". Wolfram MathWorld. Pristupljeno 3. 1. 2017. Physicists and engineers use the phrase "order of magnitude" to refer to the smallest power of ten needed to represent a quantity.
^ Gibney, Elizabeth (2022). "How many yottabytes in a quettabyte? Extreme numbers get new names". Nature. doi:10.1038/d41586-022-03747-9. PMID 36400954 Provjerite vrijednost parametra |pmid= (pomoć). S2CID 253671538 Provjerite vrijednost parametra |s2cid= (pomoć). Pristupljeno 20. 11. 2022.

Dopunska literatura

Asimov, Isaac, The Measure of the Universe (1983).

Vanjski linkovi

The Scale of the Universe 2 Interactive tool from Planck length 10⁻³⁵ meters to universe size 10²⁷
Cosmos – an Illustrated Dimensional Journey from microcosmos to macrocosmos – from Digital Nature Agency
Powers of 10, a graphic animated illustration that starts with a view of the Milky Way at 10²³ meters and ends with subatomic particles at 10⁻¹⁶ meters.
What is Order of Magnitude?

[1] Brians, Paus. "Orders of Magnitude". Arhivirano s originala, 22. 4. 2017. Pristupljeno 9. 5. 2013.

[2] "Order of Magnitude". Wolfram MathWorld. Pristupljeno 3. 1. 2017. Physicists and engineers use the phrase "order of magnitude" to refer to the smallest power of ten needed to represent a quantity.

[3] Gibney, Elizabeth (2022). "How many yottabytes in a quettabyte? Extreme numbers get new names". Nature. doi:10.1038/d41586-022-03747-9. PMID 36400954 Provjerite vrijednost parametra |pmid= (pomoć). S2CID 253671538 Provjerite vrijednost parametra |s2cid= (pomoć). Pristupljeno 20. 11. 2022.

[1]

[2]

[3]