Logaritamska distribucija

U vjerovatnoći i statistici, logaritamska distribucija (također poznata kao distribucija logaritamskih serija ili distribucija log-serije) je diskretna distribucija vjerovatnoće izvedena iz ekspanzije Maclaurinove serije: $-\ln(1-p)=p+{\frac {p^{2}}{2}}+{\frac {p^{3}}{3}}+\cdots .$

Iz ovoga dobijamo identitet

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}=1.$

Ovo vodi direktno do funkcije mase vjerovatnoće Log(p)-distribuirane slučajnom varijaclom:

$f(k)={\frac {-1}{\ln(1-p)}}\;{\frac {p^{k}}{k}}$

za k ≥ 1, i gdje je 0 < p < 1. Zbog gore navedenog identiteta, distribucija je pravilno normalizirana.

Funkcija kumulativne distribucije je

$F(k)=1+{\frac {\mathrm {B} (p;k+1,0)}{\ln(1-p)}}$

gdje je B nepotpuna beta funkcija.

Poissonov spoj sa Log(p)-distribuiranim slučajnim varijablama ima negativnu binomnu distribuciju. Drugim riječima, ako je N slučajna varijabla sa Poissonovom distribucijom, a X_i, i = 1, 2, 3, ... je beskonačan niz nezavisnih identično raspoređenih slučajnih varijabli od kojih svaka ima Log(p) distribuciju, tada

$\sum _{i=1}^{N}X_{i}$

ima negativnu binomnu distribuciju. Na ovaj način, negativna binomna distribucija se vidi kao složena Poissonova distribucija.

R. A. Fisher opisao je logaritamsku distribuciju u radu koji ju je koristio za modeliranje relativne brojnosti vrsta.

Također pogledajte

• Poissonova distribucija (također izvedena iz Maclaurinove serije)

Dopunska literatura

• Johnson, Norman Lloyd; Kemp, Adrienne W; Kotz, Samuel (2005). "Chapter 7: Logarithmic and Lagrangian distributions". Univariate discrete distributions (3 izd.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-27246-5.
• Eric W. Weisstein, Logaritamska distribucija na MathWorld-u.