Red veličine je aproksimacija logaritamske vrijednosti u odnosu na neku kontekstualno shvaćenu referentnu vrijednost, obično 10, koja se tumači kao osnova logaritma i predstavnik vrijednosti veličine jedan. Logaritamske distribucije su uobičajene prirodne i uzimajući u obzir red veličine vrijednosti uzorkovanih iz takve distribucije može biti intuitivnije. Kada je referentna vrijednost 10, red veličine se može shvatiti kao broj cifara u osnovnoj 10 predstavi vrijednosti. Slično tome, ako je referentna vrijednost jedna od nekih stepena 2, pošto računari pohranjuju podatke u binarnom formatu, veličina se može razumjeti u smislu količine računarske memorije potrebne za pohranjivanje te vrijednosti.

Razlike po redu veličine mogu se izmjeriti na bazi 10 logaritamske skale u "decenijama" (tj. faktori od deset).[1] Primjeri brojeva različitih veličina mogu se naći na Red veličina (brojevi).

Definicija

uredi

Općenito, red veličine broja je najmanji stepen od 10 koji se koristi za predstavljanje tog broja.[2] Da bi se odredio red veličine broja  , broj se prvo izražava u sljedećem obliku:

 

where   ili približno  . Zatim,   predstavlja red veličine broja. Red veličine može biti bilo koji integer. Tabela ispod nabraja red veličine nekih brojeva u svjetlu ove definicije:

Broj   Izraz u   Red veličine  
0,2 2 × 10−1 −1
1 1 × 100 0
5 0,5 × 101 1
6 0,6 × 101 1
31 3,1 × 101 1
32 0,32 × 102 2
999 0,999 × 103 3
1000 1 × 103 3

Geometrijska sredina od   i   je  , što znači da vrijednost od tačno   (tj.,  ) predstavlja geometrijsku tačku na pola puta unutar raspona mogućih vrijednosti od  .

Neki koriste jednostavniju definiciju gdje je  , možda zato što je aritmetička sredina od   i   se približava   za povećanje  . Ova definicija ima efekat blagog smanjenja vrijednosti  :

Broj   Izraz u   Red veličine  
0.2 2 × 10−1 −1
1 1 × 100 0
5 5 × 100 0
6 0,6 × 101 1
31 3,1 × 101 1
32 3,2 × 101 1
999 0,999 × 103 3
1000 1 × 103 3

Drugi pak ograničavaju   na vrijednosti gdje je  , čineći red veličine broja tačno jednakim njegovom eksponentnom dijelu u naučnih notacija.

Upotreba

uredi

Redovi veličine se koriste za približna poređenja. Ako se brojevi razlikuju za jedan red veličine, x je oko deset puta različit u količini od y. Ako se vrijednosti razlikuju za dva reda veličine, razlikuju se za faktor od oko 100. Dva broja istog reda veličine imaju otprilike istu skalu: veća vrijednost je manja od deset puta manja vrijednost. Sve veće količine internetskih podataka dovele su do dodavanja novih prefiksa tokom vremena, posljednji put 2022. godine.[3]

Riječima Prefiks (Simbol) Decimala Potencija po
 deset
Red 
veličina
Nonilionti Kvekto- (q) 0 10−30 −30
Oktilionti Ronto- (r) 0 10−27 −27
Septilionti Jokto- (y) 0 10−24 −24
Sekstilionti Zepto- (z) 0 10−21 −21
Kvintilionti Ato- (a) 0 10−18 −18
Kvadrilionti Femto- (f) 0 10−15 −15
Trilionti Piko- (p) 0 10−12 −12
Milijarditi Nano- (n) 0 10−9 −9
Milionti Mikro- (µ) 0 10−6 −6
Hiljaditi Mili- (m) 0,001 10−3 −3
Stoti Centi- (c) 0,01 10−2 −2
Deseti Deci- (d) 0,1 10−1 −1
Jedan   1 100 0
Deset Deka- (da) 10 101 1
Stotinu hecto- (h) 100 102 2
Hiljadu Kilo- (k) 1.000 103 3
Milion Mega- (M) 1.000.000 106 6
Milijarda Giga- (G) 1.000.000.000 109 9
Trilion Tera- (T) 1.000.000.000.000 1012 12
Kvadrilion Peta- (P) 1.000.000.000.000.000 1015 15
Kvintilion Eksa- (E) 1.000.000.000.000.000.000 1018 18
Sekstilion Zeta- (Z) 1.000.000.000.000.000.000.000 1021 21
Septilion Jota- (Y) 1.000.000.000.000.000.000.000.000 1024 24
Oktilion Rona- (R) 1.000.000.000.000.000.000.000.000.000 1027 27
Nonilion Kveta- (Q) 1.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 1030 30
Riječima Prefiks (Simbol) Decimala Potencija po
 deset
Red 
veličina

Izračunavanje reda veličine

uredi

Red veličine broja je, intuitivno govoreći, broj stepena 10 sadržanih u broju. Preciznije, red veličine broja može se definirati u terminima uobičajenog logaritma, obično kao cijeli broj dijela logaritma, dobijenog skraćenjem. Naprimjer, broj 4.000.000 ima logaritam (u bazi 10) od 6,602; njegov red veličine je 6. Prilikom skraćivanja, broj ovog reda veličine je između 106 i 107. U sličnom primjeru, uz frazu "Imao je sedmocifreni prihod", red veličine je broj cifara minus jedan, pa se vrlo lahko bez kalkulatora određuje na 6. Red veličine je približna pozicija na logaritamskoj skali.

Procjena reda veličine

uredi

Procjena reda veličine varijable, čija je precizna vrijednost nepoznata, je procjena zaokružena na najbližu potenciju od deset. Naprimjer, procjena reda veličine za varijablu između oko 3 milijarde i 30 milijardi (kao što je ljudska populacija na Zemlji) je 10 milijarde. Da biste zaokružili broj na najbliži red veličine, jedan zaokružuje njegov logaritam na najbliži cijeli broj. Tako 4.000.000, koji ima logaritam (u bazi 10) od 6,602, ima 7 kao najbliži red veličine, jer "najbliži" implicira zaokruživanje, a ne skraćivanje. Za broj napisan u naučnoj notaciji, ova skala logaritamskog zaokruživanja zahtijeva zaokruživanje na sljedeći stepen od deset kada je množitelj veći od kvadratnog korijena iz deset (oko 3,162). Naprimjer, najbliži red veličine za 1,7×108 je 8, dok je najbliži red veličine za 3,7×108 9. Red veličine procjena se ponekad naziva i aproksimacija nultog reda.

Razlika u redu veličine

uredi

Razlika u redu veličine između dvije vrijednosti je faktor 10. Naprimjer, masa planete Saturn je 95 puta veća od Zemlje, tako da je Saturn "dva reda veličine" ' masivniji od Zemlje. Razlike u redu veličine nazivaju se dekade kada se mjere na logaritamskoj skali.

Nedecimalni redovi veličina

uredi

Drugi redovi veličina mogu se izračunati korišćenjem baza različitih od 10. Stari Grci su rangirali noćni sjaj nebeskih tijela sa 6 nivoa u kojima je svaki nivo bio peti korijen od sto (oko 2,512) svijetlih kao najbliži slabiji nivo svjetline, i stoga je najsvjetliji nivo 5 redova magnitude svjetliji od najslabijeg pokazuje da je (1001/5) 5 ili faktor 100 puta svjetliji.

Različiti decimalni numerički sistemi svijeta koriste veću bazu kako bi bolje zamislili veličinu broja i stvorili su nazive za moći ove veće baze. Tabela pokazuje na koji broj cilja red veličine za bazu 10 i za bazu 1.000.000. Može se vidjeti da je red veličine uključen u naziv broja u ovom primjeru, jer bi- znači 2 i tri- znači 3 (ovo ima smisla samo u dugoj skali), a sufiks -ilion govori da je osnova 1.000.000. Ali sami nazivi brojeva bilion, trilion (ovde sa drugo značenje nego u prvom poglavlju) nisu nazivi redova veličina, oni su imena veličina, tj. su brojevi 1.000.000.000.000 itd.

Red veličine je log10 od log1.000.000 od Kratka skala Duga skala
1 10 1.000.000 miliona miliona
2 100 1.000.000.000.000 Milijarda milijardi
3 1.000 1.000.000.000.000.000.000 Kvintilion Trilion

SI jedinice u tabeli desno koriste se zajedno sa SI prefiksima, koji su osmišljeni sa uglavnom osnovnim 1000 magnituda na umu. IEC standardni prefiksi sa osnovom 1024 izmišljeni su za upotrebu u elektronskoj tehnologiji.

Drevne prividne magnitude za sjaj zvijezda koristi bazu Parsiranje nije uspjelo (nepoznata funkcija "\approximatelly"): {\displaystyle \sqrt[5]{100} \approximatelly 2.512} i obrnuto. Modernizirana verzija se, međutim, pretvorila u logaritamsku skalu s necjelobrojnim vrijednostima.

Ekstremno veliki brojevi

uredi

Za ekstremno velike brojeve, generalizovani red veličine može se zasnivati na njihovom dvostruki logaritam ili super-logaritam. Zaokruživanje ovih naniže na cijeli broj daje kategorije između vrlo "okruglih brojeva", zaokružujući ih na najbliži cijeli broj i primjenom inverzne funkcije daje "najbliži" okrugli broj.

Dvostruki logaritam daje kategorije:: ..., 1.0023–1.023, 1.023–1.26, 1.26–10, 10–1010, 1010–10100, 10100–101.000, ... (prva dva spomenuta, i proširenje lijevo, možda neće biti od velike koristi, oni samo pokazuju kako se niz matematički nastavlja lijevo).

Superlogaritam daje kategorije:

0–1, 1–10, 10–1010, 1010–101010, 101010–10101010, ... ili
0–010, 010–110, 110–210, 210–310, 310–410, ...

"Središnjice" koje određuju koji je okrugli broj bliži su u prvom slučaju:

1.076, 2.071, 1453, 4,2×1031, 1,69×10316,...

i, zavisno od metode interpolacije, u drugom slučaju

−0.301, 0.5, 3.162, 1.453, 1×101.453,  ,  ,... (vidi zapis izuzetno velikih brojeva)

Za izuzetno male brojeve (u smislu blizu nule) nijedna metoda nije prikladna direktno, ali se može uzeti u obzir generalizovani recipročni red veličine.

Slično kao logaritamska skala može imati dvostruku logaritamsku skalu (primer dat ovde) i superlogaritamsku skalu. Intervali iznad svih imaju istu dužinu na sebi, sa "sredinama" zapravo na sredini. Općenito, tačka na sredini između dvije tačke odgovara generalizovanoj f-sredini sa f(x) odgovarajućim dnevnikom funkcije x ili slog x. U slučaju log log x, ova srednja vrijednost dva broja (npr. 2 i 16 daju 4) ne ovisi o osnovici logaritma, baš kao u slučaju log x (geometrijska sredina, 2 i 8 daju 4), ali za razliku od slučaja dnevnika dnevnika x (4 i 65.536 daju 16 ako je osnova 2, ali ne drugačije).

Također pogledajte

uredi

Reference

uredi
  1. ^ Brians, Paus. "Orders of Magnitude". Pristupljeno 9. 5. 2013.
  2. ^ "Order of Magnitude". Wolfram MathWorld. Pristupljeno 3. 1. 2017. Physicists and engineers use the phrase "order of magnitude" to refer to the smallest power of ten needed to represent a quantity.
  3. ^ Gibney, Elizabeth (2022). "How many yottabytes in a quettabyte? Extreme numbers get new names". Nature. doi:10.1038/d41586-022-03747-9. PMID 36400954 Provjerite vrijednost parametra |pmid= (pomoć). S2CID 253671538 Provjerite vrijednost parametra |s2cid= (pomoć). Pristupljeno 20. 11. 2022.

Dopunska literatura

uredi

Vanjski linkovi

uredi