Parabola (matematika)

Parabola je vrsta konusnog presjeka, kriva drugog stepena. Parabola je skup takvih tačaka u ravni, koje su jednako udaljene od prave (tzv. direktrisa) od date tačke, koja leži na toj pravoj (tzv. fokus).

Parabola

OsobineUredi

Parabola je osno simetrična. Osa simetrije prolazi fokusom parabole i okomita je na direktrisu. Rotacijom parabole oko njene ose simetrije nastaje paraboloid.

Za parabolu kažemo da je u normalnom položaju, kada je njena osa paralelna s osom   ili  .

Parabola se može definisati kao konusni presjek s nagibom koji je jednak jedan. Iz tog proizilazi, da su sve parabole slične. Parabolu možemo shvatiti kao granicu niza elipse, u kojoj je jednan od fokusa stacionaran, a drugi se postepeno udaljava do beskonačnosti.

Matematički zapisiUredi

Implicitni zapis

 

Skup svih tačaka X u ravni, koje imaju istu udaljenost od fokusa F i od direktrise d, koja ne prolazi fokusom F.

Descartesov koordinatni sistemUredi

Standardni opis parabole:

V[m, n] – vrh parabole sa koordinatama m, n
F – fokus parabole
d – direktrisa
o – osa parabole
|DF| = p – veličina parametra,  
 
X[x, y] – proizvoljna tačka koja pripada paraboli


Kanonski oblik jednačineUredi

Kanonski (normalni) oblik jednačine parabole u normalnom položaju (osa parabole je paralelna sa osom   te za vrh parabole  ) vrijedi

 

Za   parabola je otvorena desno a za   parabola je otvorena lijevo. Za   dobija se parabola s vrhom u koordinatnom početku.

Fokus tako zadane parabole ima koordinate

 

a direktrisa je opisana jednačinom

 


Kanonski oblik jednačine parabole s osom u osi   i vrhom u koordinatnom početku se može zapisati kao

 

Za   parabola je otvorena prema gore a za   otvorena je prema dole.

Jednačina konusnog presjekaUredi

Ako u jednačini konusnog presjeka uvrstimo   i  , dobijemo parabolu u normalnom položaju (osa parabole je paralelna s osom  ), koja ima disektrisu

 

fokus ima koordinate

 

a koordinate vrha su

 

Parametar ima vrijednost

 


Slično u slučaju   i   dobijamo parabolu u normalnom položaju (osa parabole je paralelna s osom  ). Za direktrisu, fokus, vrh i parametar dobijamo

 
 
 
 


Parabolu iz općeg do normalnog položaja se može prevesti rotacijom koordinatnog sistema o ugao   datim izrazom

 
Karakteristike parabole u odnosu na njen položajUredi
  • Osa parabole   je paralelna s osom   imajući minimum (tačka V) na osi  .
Tjemena jednačina:
 
Parametarska jednačina:
 
 
Opća jednačina:
 
Jednačina direktrise:
 
Jednačina tangente u tački  :
 

Osa parabole   je paralelna s osoom   imajući maximum(tačka V) na osi  .

Tjemena jednačina:
 
Parametarska jednačina:
 
 
Opća jednačina:
 
Jednačina direktrise:
 
Jednačina tangente u tački  :
 
  • Osa parabole   je paralelna s osom   imajući minimum. Konveksna parabola.
Tjemena jednačina:
 
Parametarska jednačina:
 
 
Opća jednačina:
 
Jednačina direktrise:
 
Jednačina tangente u tački  :
 
  • Osa parabole   je paralelna s osom   imajući maksimum. Konkavna parabola.

 

Tjemena jednačina:
 
Parametarska jednačina:
 
 
Opća jednačina:
 
Jednačina direktrise:
 
Jednačina tangente u tački  :
 
Uzajamni odnos parabole i praveUredi

Riješimo sistem jednačina parabole i prave. Ukoliko dobijemo linearnu jednačinu, koja ima rješenja - prava siječe parabolu u jednoj tački. Ukoliko linearna jednačina nema rješenja - prava i parabola se mimoilaze. Ukoliko dobijemo kvadratnu jednačinu i diskriminanta   je:

  • D > 0 dva rješenja - prava siječe parabolu u dvije tačke
  • D = 0 jedno rješenje - prava je paraboli tangenta
  • D < 0 nema rješenja - prava i parabola se mimoilaze

Polarni koordinatni sistemUredi

Parabola s fokusom u početku koordinatnog sistema i s vrhom na negativnoj poluosi x zapisuje se pomoću jednačine:

 

gdje   je parameter parabole.

Iz tog je vidljivo, da parametar parabole ima također značenje polovine dužine tzv. latus rectum, tako da je i tetiva konusnog presjeka okomita na glavnu osu u fokusu  . Kod parabole se ta vrijednost izjednačava sa četverostrukom dužinom fokusne udaljenosti.

Polarnom jednačinom je moguće dokazati, da parabola nastane kružnom inverzijom karadiode.

Parabola u realnom svijetuUredi

Trajektorije tijela koja se kreću u homogenom gravitacijskom polju su parabole. Po paraboli se također kreću tijela u centralnim gravitacijskim poljima, ako je njihova brzina tačno jednaka drugoj kosmičkoj brzini a smjer im se poklapa sa smjerom tog polja. Npr. put, po kojem se kreću neke kometi, su veoma slične paraboli.

Ako se zraka koja prilazi paraboli (ili paraboloidu) paralelno sa osom simetrije odbije od parabole/paraboloida, prolazit će fokusom. To je razlog, zašto se proizvode parabolična ogledala i antene (npr. kod automobila, dvogleda, telekomunikacijskih satelita i sl.).

Također pogledajteUredi

Vanjski linkoviUredi