Kvadratna jednačina

Pojam kvadratna jednačina u matematici označava jednačinu drugog stepena, to znači jednačina sa jednom nepoznatom,u kojoj se nepoznata kvadrirana (x2). U osnovnom obliku kvadratna jednačina izgleda ovako:

Gdje su a, b realni brojevi, tzv. koeficijenti te jednačine, x je nepoznata. Koeficijent a je uvijek različit od nule, tj. kada je a = 0 radi se o linearnoj jednačini. Često se kvadratna jednačina izrazuje u normiranom obliku, gdje a = 1. Do tog oblika može se prevesti bilo koja jednačina, dijeljenjem sa koeficijentom a.

Pojedinačni članovi imaju svoje nazive: ax2 je kvadratni član, bx je linearni član i c je slobodni ili apsolutni član.

Rješavanje jednačineUredi

Prilikom rješavanja, najprije se izračuna tzv. diskriminanta  . U zavisnosti od njene vrijednosti mogu nastati tri slučaja:

  • D = 0, tada jednačina ima jedno (tzv. dvostruko) rješenje  . Prvobitnu jednačinu je moguće zapisati u obliku  .
  • D > 0, tada jednačina ima dva različita realna rješenja  . Jednačinu je moguće zapisati u obliku  .
  • D < 0, tada jednačina nema realnih rješenja. Njena rješenja su dva kompleksna broja  . Jednačinu je moguće napisati u obliku  .

Kompleksni koeficijentiUredi

U najobičnijim slučajevima koeficijenti   mogu da budu kompleksni brojevi. Rješenje opet nalazimo izračunavanjem diskriminante   i njenog drugog korijena u domeni realnih brojeva. Formula za rješavanje je ista kao i kada su u pitanju realni koeficijenti.  . Rješenja su obično dva kompleksna broja, i među njima ne mora postojati nikakav odnos. Jednačinu je opet moguće napisati u obliku  . U slučaju da je diskriminanta nula, jednačina ima samo jedno rješenje   i oblik  .

Dalje jednakostiUredi

Za rješenja jednačine moraju vrijediti i sljedeće jednakosti (tzv. Vièteove formule):

  •  
  •  

Geometrijsko značenjeUredi

Lijevu stranu jednačine (ax2 + bx + c) opisuje parabola s osom paralenom osi y. Ako je a>0, parabola je otvorena prema gore (tj. tjeme je dole), za a<0 otvorena je prema dole (tjeme je gore). Rješavanju kvadratne jednačine odgovara traženje presjeka te parabole s osom x. U zavisnosti od položaja parabole, nastaju sljedeći slučajevi:

  • Cijela parabola leži nad (za a>0) ili pod (pro a<0) osom x. To nastane u slučaju, kada je D<0. Tada parabola nema presječnih tačaka s osom x, što znači, da kvadratna jednačina nema realnih rješenja
  • Tjeme parabole leži na osi x. To nastane u slučaju, kada je D=0. Tada parabola i osa x se dodiruju, tj. iamju samo jednu presječnu tačku, drugim rječima kvadratna jednačina ima samo jedno rješenje.
  • Osa x sječe parabolu u dvije tačke. To nastane u slučaju, kada je D>0. Tada jednačina ima dva realna i različita rješenja.


Također pogledajteUredi

Vanjski linkoviUredi