Elipsa

Elipsa je zatvorena kriva koja je određena sa dvije poluose: velikom (oznaka: a) i malom (oznaka: b). Oblik elipse definiše se njenim ekscentricitetom (ili eliptičnošću, oznaka: e). Elipsa se može također predstaviti kao kosi presjek ravni i valjka. Tačke F1 i F2 nazivaju se fokus. Osobine tački F1 i F2 i promjenljive tačke X je da je suma dužina duži F1X i F2X uvijek jednaka.

Elipsa:
a = velika poluosa
b = mala poluosa

Površina elipse se računa formulom:

Dijelovi elipseUredi

  1. Tačke   i   zovu se žarišta ili fokusi elipse.
  2. Glavna osa elipse je prava kroz žarišta (prava određena tačkama   i  )
  3. Sredina duži   je središte elipse.
  4. Sporedna osa je normala na glavnu osu kroz središte elipse.
  5. Tačke u kojima ose sijeku elipsu zovu se tjemena.
  6. Velika osa je duž  .
  7. Mala osa je duž  .
  8. Velike poluose su duži   i  .
  9. Male poluose su duži   i  .
  10. Linearni ekscentricitet udaljenost žarišta od središta elipse.
  11. Radijus vektori tačke na elipsi su dužine   i  .

FormuleUredi

Tekst zaglavlja Tekst zaglavlja
osna jednačina  
segmentni oblik  
poluparametar  
numerički ekscentricitet  
linearni ekscentricitet  
radijus vektor  [1]
jednačina tangente  
uslov da prava   bude tangenta  
koordinate tjemena  ,  ,

OsobineUredi

  • algebarska zatvorena kriva jedna je od konika
  • skup tačaka ravni kojima je zbir udaljenosti od dvije čvrste tačke, žarišta, konstantan.
  • Elipsa je simetrična s obzirom na dvije ose (glavne osi) i njihovo sjecište, središte simetrije.
  • Žarišta elipse smještena su na velikoj osi simetrično s obzirom na središte, a apscisa im je  
  • Svaka tetiva koja prolazi kroz središte elipse njezin je prečnik.
  • Tangenta na elipsu u tački T elipse zatvara jednake uglove sa spojnicama  ,   tačke T sa žarištima elipse
  • Planete se kreću po elipsama kojima se u jednom žarištu nalazi Sunce.

EkscentricitetUredi

Ekscentricitet je konstanta karakteristična za svaku elipsu. Predstavlja minimalno rastojanje fokusne tačke elipse od elipse, duž ose. Označava se sa  . i izračunava se kao:

 [2]

  i   su dužine poluprečnika elipse. Ako sa   označimo rastojanje između fokusnih tačaka elipse dobićemo

 

JednačinaUredi

Neka se ose elipse poklapaju sa koordinantnim osama. Jednačina elipse je.

 

Dokaz

Neka nezavisni parametar   raste od 0 do  

 

 

 

 

 

 [3]

Površina i obimUredi

Površina zatvorena elipsom je : , gdje su   i   polovine velike i male ose, a   matematička konstanta. Do formule za površinu se dolazi izračunavanjem pomoću integrala.

Dokaz.

Površina elipse je

 

 
 
 


Obim   elipse je  , gdje je funkcija   totalni eliptični integral druge vrste.

Tačan beskonačan red glasi:

 

ili

 

Dobra aproksimacija Ramanujanova, a koja glasi:

 

ili bolja aproksimacija:

 

Za posebni slučaj, gdje je mala osa polovine velike ose, možemo koristiti:

 

ili

  (better approximation).

Općenitije, dužina luka dijela obima, kao funkcija obuhvatnog ugla, data je nepotpunim eliptičkim integralom. Inverzna funkcija, obuhvatni ugao kao funkcija dužine luka, je data preko eliptičkih funkcija.

Zbir rastojanja tačke elipse od žižaUredi

Zbir rastojanja ma koje tačke elipse od njenih žiža, fokusa   i   je konstantan i iznosi  

Dokaz

Ako je   proizvoljna tačka elipse,   podnožje normale iz te tačke na direktrisu  , a   podnožje normale na direktrisu   , onda je

 

  je ekscentricitet elipse

 .

Zbir u zagradi desno je rastojanje između direktrisa, koje iznosi  , pa je

 

Također pogledajteUredi

IzvoriUredi

Ellipses

Ellipse

Ellipse, 7 February 2011 by 127.0.0.1

Analitička geometrija ravnine – osnovne formule

ReferenceUredi

  1. ^ Ellipse
  2. ^ Eccentricity
  3. ^ An ellipse is a central second-order curve with canonical equation 07. februar 2011. by 127.0.0.1