Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljen izvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe pouzdanim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti izbrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Elipsa je zatvorena kriva koja je određena sa dvije poluose : velikom (oznaka: a ) i malom (oznaka: b ). Oblik elipse definiše se njenim ekscentricitetom (ili eliptičnošću, oznaka: e ). Elipsa se može također predstaviti kao kosi presjek ravni i valjka . Tačke F1 i F2 nazivaju se fokus . Osobine tački F1 i F2 i promjenljive tačke X je da je suma dužina duži F1 X i F2 X uvijek jednaka.
Elipsa:a = velika poluosab = mala poluosa Površina elipse se računa formulom:
P
=
a
∗
b
∗
π
{\displaystyle P=a*b*\pi }
Tačke
F
1
{\displaystyle F_{1}}
F
2
{\displaystyle F_{2}}
Glavna osa elipse je prava kroz žarišta (prava određena tačkama
F
1
{\displaystyle F_{1}}
F
2
{\displaystyle F_{2}}
Sredina duži
F
1
F
2
{\displaystyle F_{1}F_{2}}
Sporedna osa je normala na glavnu osu kroz središte elipse.
Tačke u kojima ose sijeku elipsu zovu se tjemena.
Velika osa je duž
A
B
{\displaystyle AB}
Mala osa je duž
C
D
{\displaystyle CD}
Velike poluose su duži
A
S
{\displaystyle AS}
S
B
{\displaystyle SB}
Male poluose su duži
C
S
{\displaystyle CS}
S
D
{\displaystyle SD}
Linearni ekscentricitet udaljenost žarišta od središta elipse.
Radijus vektori tačke na elipsi su dužine
F
1
T
{\displaystyle F_{1}T}
F
2
T
{\displaystyle F_{2}T}
Tekst zaglavlja
Tekst zaglavlja
osna jednačina
b
2
x
2
+
a
2
y
2
=
a
2
b
2
{\displaystyle b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}}
segmentni oblik
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1.
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}
poluparametar
p
=
b
2
a
{\displaystyle p={\frac {b^{2}}{a}}}
numerički ekscentricitet
ε
=
e
a
{\displaystyle \varepsilon ={\frac {e}{a}}}
linearni ekscentricitet
e
2
=
a
2
−
b
2
{\displaystyle e^{2}=a^{2}-b^{2}}
radijus vektor
r
1
+
r
2
=
2
a
{\displaystyle r_{1}+r_{2}=2a}
[ 1]
jednačina tangente
b
2
x
1
x
+
a
2
y
1
y
=
a
2
b
2
{\displaystyle b^{2}x_{1}x+a^{2}y_{1}y=a^{2}b^{2}}
uslov da prava
y
=
k
x
+
n
{\displaystyle y=kx+n}
a
2
k
2
+
b
2
=
n
2
{\displaystyle a^{2}k^{2}+b^{2}=n^{2}}
koordinate tjemena
(
±
a
,
0
)
{\displaystyle (\pm a,0)}
(
0
,
±
b
,
)
{\displaystyle (0,\pm b,)}
algebarska zatvorena kriva jedna je od konika
skup tačaka ravni kojima je zbir udaljenosti od dvije čvrste tačke, žarišta, konstantan.
Elipsa je simetrična s obzirom na dvije ose (glavne osi) i njihovo sjecište, središte simetrije.
Žarišta elipse smještena su na velikoj osi simetrično s obzirom na središte, a apscisa im je
e
{\displaystyle e}
Svaka tetiva koja prolazi kroz središte elipse njezin je prečnik.
Tangenta na elipsu u tački T elipse zatvara jednake uglove sa spojnicama
r
1
{\displaystyle r_{1}}
r
2
{\displaystyle r_{2}}
Planete se kreću po elipsama kojima se u jednom žarištu nalazi Sunce .
Neka se ose elipse poklapaju sa koordinantnim osama. Jednačina elipse je.
(
x
a
)
2
+
(
y
b
)
2
=
1
{\displaystyle \displaystyle {\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}}=1}
Dokaz Neka nezavisni parametar
θ
{\displaystyle \theta }
π
{\displaystyle \pi }
x
2
=
a
2
cos
2
θ
.
{\displaystyle x^{2}=a^{2}\cos ^{2}\theta .}
y
2
=
b
2
sin
2
θ
.
{\displaystyle y^{2}=b^{2}\sin ^{2}\theta .}
x
2
a
2
=
cos
2
θ
.
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}=\cos ^{2}\theta .}
y
2
b
2
=
sin
2
θ
.
{\displaystyle {\frac {y^{2}}{b^{2}}}=\sin ^{2}\theta .}
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
cos
2
θ
+
sin
2
θ
.
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta .}
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1.
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}
[ 3]
Površina zatvorena elipsom je :
P
=
a
b
π
{\displaystyle P=ab\pi }
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
π
=
3
,
14159...
{\displaystyle \pi =3,14159...}
Dokaz. Površina elipse je
P
=
4
∫
0
a
y
d
x
=
4
∫
0
a
b
⋅
1
−
x
2
a
2
d
x
=
[
x
=
a
sin
t
,
d
x
=
a
cos
t
d
t
]
{\displaystyle P=4\int _{0}^{a}ydx=4\int _{0}^{a}b\cdot {\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}}dx=[x=a\sin t,\ dx=a\cos tdt]}
=
4
∫
0
π
2
b
⋅
cos
2
t
⋅
cos
t
d
t
=
4
a
b
∫
0
π
2
cos
2
t
d
t
{\displaystyle =4\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}b\cdot {\sqrt {\cos ^{2}t}}\cdot \cos tdt=4ab\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{2}tdt}
=
4
a
b
∫
0
π
2
1
+
cos
2
t
2
d
t
=
4
a
b
∫
0
π
2
d
t
2
+
a
b
∫
0
π
2
cos
2
t
d
2
t
{\displaystyle =4ab\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1+\cos 2t}{2}}dt=4ab\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {dt}{2}}+ab\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos 2td2t}
=
4
a
b
⋅
π
2
|
π
2
+
a
b
sin
2
t
|
0
π
2
=
a
b
π
.
{\displaystyle =4ab\cdot {\frac {\pi }{2}}{\Bigg |}^{\frac {\pi }{2}}+ab\sin 2t{\Bigg |}_{0}^{\frac {\pi }{2}}=ab\pi .}
Obim
O
{\displaystyle O}
4
a
E
(
ε
)
{\displaystyle 4aE(\varepsilon )}
E
{\displaystyle E}
eliptični integral druge vrste .
Tačan beskonačan red glasi:
C
=
2
π
a
[
1
−
(
1
2
)
2
ε
2
−
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
2
ε
4
3
−
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
2
ε
6
5
−
…
]
;
{\displaystyle C=2\pi a\left[{1-\left({1 \over 2}\right)^{2}\varepsilon ^{2}-\left({1\cdot 3 \over 2\cdot 4}\right)^{2}{\varepsilon ^{4} \over 3}-\left({1\cdot 3\cdot 5 \over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^{2}{\varepsilon ^{6} \over 5}-\dots }\right];\!\,}
ili
C
=
2
π
a
∑
n
=
0
∞
{
−
[
∏
m
=
1
n
(
2
m
−
1
2
m
)
]
2
ε
2
n
2
n
−
1
}
;
{\displaystyle C=2\pi a\sum _{n=0}^{\infty }{\left\lbrace -\left[\prod _{m=1}^{n}\left({2m-1 \over 2m}\right)\right]^{2}{\varepsilon ^{2n} \over 2n-1}\right\rbrace };\,\!}
Dobra aproksimacija Ramanujanova , a koja glasi:
C
≈
π
[
3
(
a
+
b
)
−
(
3
a
+
b
)
(
a
+
3
b
)
]
{\displaystyle C\approx \pi \left[3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}\right]\!\,}
ili bolja aproksimacija :
C
≈
π
(
a
+
b
)
(
1
+
3
(
a
−
b
a
+
b
)
2
10
+
4
−
3
(
a
−
b
a
+
b
)
2
)
;
{\displaystyle C\approx \pi \left(a+b\right)\left(1+{\frac {3\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)^{2}}{10+{\sqrt {4-3\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)^{2}}}}}\right);\!\,}
Za posebni slučaj, gdje je mala osa polovine velike ose, možemo koristiti:
C
≈
π
a
(
9
−
35
)
2
;
{\displaystyle C\approx {\frac {\pi a(9-{\sqrt {35}})}{2}};\!\,}
ili
C
≈
a
2
93
+
1
2
3
;
{\displaystyle C\approx {\frac {a}{2}}{\sqrt {93+{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}}};\!\,}
Općenitije, dužina luka dijela obima, kao funkcija obuhvatnog ugla, data je nepotpunim eliptičkim integralom . Inverzna funkcija , obuhvatni ugao kao funkcija dužine luka, je data preko eliptičkih funkcija .
uredi
Zbir rastojanja ma koje tačke elipse od njenih žiža, fokusa
F
1
{\displaystyle F_{1}}
F
2
{\displaystyle F_{2}}
2
a
{\displaystyle 2a}
Dokaz Ako je
M
(
x
,
y
)
{\displaystyle M(x,y)}
N
{\displaystyle N}
d
{\displaystyle d}
N
′
{\displaystyle N^{\prime }}
d
′
{\displaystyle d^{\prime }}
F
M
¯
=
e
⋅
M
N
¯
,
F
′
M
¯
=
e
⋅
M
N
′
¯
,
{\displaystyle {\overline {FM}}=e\cdot {\overline {MN}},\ {\overline {F^{\prime }M}}=e\cdot {\overline {MN^{\prime }}},}
e
∈
(
0
,
1
)
{\displaystyle e\in (0,1)}
F
M
¯
+
F
′
M
¯
=
e
⋅
(
M
N
¯
+
M
N
′
¯
)
{\displaystyle {\overline {FM}}+{\overline {F^{\prime }M}}=e\cdot ({\overline {MN}}+{\overline {MN^{\prime }}})}
Zbir u zagradi desno je rastojanje između direktrisa, koje iznosi
e
∗
2
∗
(
a
/
e
)
{\displaystyle e*2*(a/e)}
F
M
¯
+
F
′
M
¯
=
e
⋅
a
e
=
2
a
,
{\displaystyle {\overline {FM}}+{\overline {F^{\prime }M}}=e\cdot {\frac {a}{e}}=2a,}
![{\displaystyle P=4\int _{0}^{a}ydx=4\int _{0}^{a}b\cdot {\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}}dx=[x=a\sin t,\ dx=a\cos tdt]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2e823743a50214588593f9e05a4eaa60e6e16d4)
![{\displaystyle C=2\pi a\left[{1-\left({1 \over 2}\right)^{2}\varepsilon ^{2}-\left({1\cdot 3 \over 2\cdot 4}\right)^{2}{\varepsilon ^{4} \over 3}-\left({1\cdot 3\cdot 5 \over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^{2}{\varepsilon ^{6} \over 5}-\dots }\right];\!\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9856e7323531776bfbf85f9e6dea584d29ec7708)
![{\displaystyle C=2\pi a\sum _{n=0}^{\infty }{\left\lbrace -\left[\prod _{m=1}^{n}\left({2m-1 \over 2m}\right)\right]^{2}{\varepsilon ^{2n} \over 2n-1}\right\rbrace };\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a1598070e9de15ce43de0b668d4fdcc4803843c)
![{\displaystyle C\approx \pi \left[3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}\right]\!\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd246503ae5e29912d4149f118c5d7145d637085)
