Nejednakost

Ovaj članak govori o nejednakostima u matematici. Za druga značenja, pogledajte članak nejednakost (čvor).
Za članak o nejednakim iskazima, pogledajte članak Nejednačina.
Grafika rješenja sistema lineranih nejednakosti.

U matematici, nejednakost je iskaz o relativnoj veličini ili redu dva predmeta, ili o tome da li oni isti lil nisu (Također pogledajte: jednakost)

  • Oznaka a < b znači da je a manje od b.
  • Oznaka a > b znači da je a veće od b.
  • Oznaka ab znači da je a nije jednako sa b, ali ne govori da je jedno veće od drugog, ili čak da se mogu porediti po veličini.

U svim ovim slučajevima, a nije jednakosa b, pa imamo, "nejednakost".

Ove relacije se poznate kao stroge nejednakosti

  • Oznaka ab znači da je a manje ili jednako sa b (ili, ekvivalentno, ne veće od b);
  • Oznaka ab znači da je a veće ili jednako sa b (ili, ekvivalentno, ne manje od b);

Postoje i oznake kojim se govori da je jedna veličina mnogo veća od druge, najčešće za nekoliko redova veličine.

  • Oznaka a b znači da je a mnogo manje od b.
  • Oznaka a b znači da je a mnogo veće od b.

Ako je smisao nejednosti isti za sve vrijednosti varijabli za koje su članovi nejednakosti definisani, tada se nejednakost naziva "apsolutnom" ili "bezuslovnom" nejednakosšću. Ako smisao nejednakosti važi samo sa određene vrijednosti varijabli, ali je suprotna ili se poništava za druge vrijednosti tih varijabli, tada se to naziva "uslovna nejednakost".

OsobineUredi

Nejednakostima se manipuliše slijedeći osobine. Zapamtite da je za osobine tranzitivnosti, preokreta, sabiranja, oduzimanja, množenja i dijeljenja, osobina, također, važi i kada se znak stroge nejednakosti (< i >) zamijeni sa njihovoim odgovarajućim nestogim znakovima nejednakosti (≤ i ≥).

TrihotomijaUredi

Osobina trihotomije kaže da je:

  • Za sve realne brojeve, a i b, tačno jedno, od slijedećeg, je tačno:
    • a < b
    • a = b
    • a > b

TranzitivnostUredi

Tranzitivnost nejednakosti kaže da je:

    • Ako je a > b i b > c; tada je a > c
    • Ako je a < b i b < c; tada je a < c
    • Ako je a > b i b = c; tada je a > c
    • Ako je a < b i b = c; tada je a < c

Sabiranje i oduzimanjeUredi

Osobine vezane za sabiranje i oduzimanje kažu da je:

    • Ako je a < b, tada je a + c < b + c i ac < bc
    • Ako je a > b, tada je a + c > b + c i ac > bc

Množenje i dijeljenjeUredi

Osobine vezane za množenje i dijeljenje kažu da je:

Inverz sabiranjaUredi

Osobine za inverz sabiranja kažu da je:

  • Za sve realne brojeve a i b
    • Ako je a < b, tada je −a > −b
    • Ako je a > b, tada je −a < −b

Inverz množenjaUredi

Osobine za inverz množenja kažu da je:

    • Ako je a < b, tada je 1/a > 1/b
    • Ako je a > b, tada je 1/a < 1/b

Nejednakosti između srednjih vrijednostiUredi

Postoji mnogo nejednakosti između srednjih vrijednosti. Na primjer, za bilo koje pozitivne brojeve a1, a2, …, an, imamo da je HGAQ, gdje je

  (harmonijska sredina),
  (geometrijska sredina),
  (aritmetička sredina),
  (kvadratna sredina).

Nejednakost između aritmetičke i geometrijske sredineUredi

Nejednakost između aritmetičke i geometrijske sredine, ili kraće AG nejednakost, svakako je jedna od najpoznatijih algebarskih nejednakosti. Radi se o uporedbi aritmetičke sredine

 

i geometrijske sredine

 

za   i   uređene n-torke pozitivnih brojeva i  .

Teorem (AG nejednakost)

Ako su a i w uređene n-torke pozitivnih brojeva, tada vrijedi  . Jednakost se postiže ako i samo ako je  .

DokaziUredi

Prvo razmatrajmo algebarski dokaz nejednakosti

 

Dokaz 1

 

 

 

  Pismatrajmo nekoliko geometrijskih dokaza nejednakosti

Dokaz 2

 

Veći kvadrat ima stranicu duljine   i njegova je površina veća od površine četiriju pravougaonika sa stranicama a i b.

Imamo

 

 

Jednakost se postiže ako i samo ako je površina velikog kvadrata jednaka površini četiriju pravougaonika, odnosno ako i samo ako kvadrat u sredini figure iščezava, a to se događa ako i samo ako je  .

Dokaz 3

 

U pravouglom trouglu   s hipotenuzom   visina   dijeli hipotenuzu na odsječke   i   dužina a i b. Prema Euklidovoj teoremi, dužina visine na hipotenuzu jednaka je geometrijskoj sredini njenih dužina odsječaka na hipotenuzi, tj.

 

S druge strane, poluprečnik kružnice opisane oko trougla   jednak je polovini dužine hipotenuze, tj.  

Budući da je u pravouglom trouglu   hipotenuza   duža od katete  , slijedi nejednakost

 

Jednakost se postiže ako i samo ako trougao   degenerira u dužinu  , tj. ako i samo ako se težišnica   podudara s visinom  . To se događa ako i samo ako je trougao   odnosno ako i samo ako su odsječci visine na hipotenuzi jednake dužine  

Dokaz 4

 

Kvadrat ABCD ima stranicu dužine  , a pravougaonik ABFE ima stranice dužina   i  ,  . Sad imamo

 

Dokaz 5

 

Neka su date kružnice središta O i S te poluprečnoci   i   koje se diraju izvana i neka je AB zajednička vanjska tangenta tih dviju kružnica. Tačke A i B su dirališta tangente i kružnica. Trapez   ima dva prava ugla pri vrhovima A i B. Neka je dužina   paralelna s  . Tada je trougao OMS pravougli.

Hipotenuza OS ima dužinu  , a kateta OM ima dužinu  . Prema Pitagorinoj teorimi imamo

 .

Kako je u pravouglom trouglu hipotenuza duža od katete, slijedi valjanost nejednakosti .

Dokaz 6

 

Neka je data kružnica s poluprečnikom AB dužine   i središtem O. Tačka D nalazi se na pravoj kroz A i B tako da je   i tačka B je između tačaka A i D. Tada je  . Iz tačke D povučena je tangenta na kružnicu. Tačka T je diralište te tangente i kružnice. U pravouglom trouglu   hipotenuza ima dužinu  , a dužinu katete   možemo izračunati pomoću Pitagorina teoreme:

 

Kako je hipotenuza duža od katete, vrijedi nejednakost.

Na ovoj slici pojavljuje se nejednakost kvadratne i harmonijske sredine. Ako je CO poluprečnik okomit na pročnik AB, tada dužina hipotenuze CD iznosi   .

Ovaj se izraz naziva kvadratnom sredinom brojeva a i b. Nadalje, ako je N nožište visine iz vrha T u pravouglom trouglu OTD, tada iz sličnosti trougla TND i OTD slijedi  , tj.  

Ovaj se izraz naziva harmonijskom sredinom brojeva a i b. Sa slike je  , tj. sredine rastu ovim redom: harmonijska, geometrijska, aritmetička i kvadratna. Ova se činjenica generalizira na sredine definisane pomoću opšte potencije.

Sljedeća dva dokaza pripadaju grupi analitičkih dokaza AG nejednakosti.

Dokaz 7

 


Funkcija   je konveksna, što geometrijski znači da je grafik funkcije između dviju tačaka grafika uvijek ispod tetive koja spaja te dvije tačke. Na grafiku eksponencijalne funkcije odaberimo dvije tačke s koordinatama   i   te uvedimo oznake   i  .

Prava kroz odabrane tačke ima jednačinu

 ,

pa tačka na toj pravojs apscisom   ima ordinatu  . S druge strane, tačka s istom apscisom, ali na grafiku eksponencijalne funkcije ima ordinatu  , što nakon sređivanja postaje  .

Tačka na grafiku nalazi ispod tačke na tetivi, slijedi AG nejednakost.

Dokaz 8

 

Posmatrajmo hiperbolu  . Tačke   i   pripadaju toj hiperboli. Prava koja prolazi kroz te dvije tačke ima jednačinu  .

Presjek hiperbole i tetive PQ s pravom  . Na hiperboli je presjek tačka G s koordinatama  , a na tetivi tačka A s koordinatama   Tačka G je ispod tačke A pa zbog konveksnosti funkcije čija je hiperbola grafik, slijedi AG nejednakost.

Teorema(AG nejednakost za četiri pozitivna broja).

Neka su a, b, c, d pozitivni realni brojevi. Tada vrijedi

 

Dokaz

 

 

Jednakost vrijedi ako i samo ako je   i  ,  , odnosno a  

Teorem (AG nejednakost za tri pozitivna broja).

Neka su a, b, c pozitivni realni brojevi. Tada vrijedi

 

Dokaz Neka su   i neka je

 .

Tada je prema teoremi (AG nejednakost za četiri pozitivna broja)

  tj

  tj

 

dijeljenjem sa   dobijamo

  odnosno

 

Nejednakosti između geometrijske i harmonijske sredineUredi

Neka je a bilo koja n-torka pozitivnih realnih brojeva. Tada je

  Dokaz

 

Primjenom aritmetičko geometrijske nejednakosti na brojeve  ,  ...  dobijamo

 

 

 

 

Jednakost vrijedi ako i samo ako je  

Nejednakost između aritmetičke i kvadratne sredineUredi

Neka je a bilo koja n -torka pozitivnih realnih brojeva. Tada je

 

Dokaz

 

znamo

  za  

 

Izrazi na obe strane su pozitivni, dobijenu nejednakost možemo korjenovati čime dolazimo do

 

 

Jednakost vrijedi ako i samo ako je  

Nejednakosti stepenaUredi

Ponekad sa oznakom "stepena nejednakost" podrazumjevamo jednakosti koje sadrže izraz tipa ab, gdje su a i b realni pozitivni brojevi ili izrazi nekih varijabli.

PrimjeriUredi

  • Ako je x > 0, tada je
 
  • Ako je x > 0, tada je
 
  • Ako je x, y, z > 0, tada je
 
  • Za bilo koja dva različita broj a i b,
 
  • Ako je x, y > 0 i 0 < p < 1, tada je
 
  • Ako je x, y, z > 0, tada je
 
  • Ako je a, b > 0, tada je
 
  • Ako je a, b > 0, tada je
 
Ovaj rezultat uopćio je R. Ozols 2002. godine, kada je dokazato da ako je a1, ..., an, tada je
 
(rezultat je objevljen u latvijskom naučnom časopisu Zvjezdano nebo; pogledajte reference).

Dobro poznate nejednakostiUredi

Matematičari često koriste nejednakosti da ograniče veličine za koje se tačne formule ne mogu izračunati lahko. Neke nejednakosti se koriste tako često, da čak imaju svoje nazive:

Također pogledajteUredi

ReferenceUredi

  • Hardy, G., Littlewood J.E., Polya, G. (1999). Inequalities. Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press. ISBN 0-521-05206-8.CS1 održavanje: više imena: authors list (link)
  • Beckenbach, E.F., Bellman, R. (1975). An Introduction to Inequalities. Random House Inc. ISBN 0-394-01559-2.CS1 održavanje: više imena: authors list (link)
  • Drachman, Byron C., Cloud, Michael J. (1998). Inequalities: With Applications to Engineering. Springer-Verlag. ISBN 0-387-98404-6.CS1 održavanje: više imena: authors list (link)
  • Murray S. Klamkin. ""Quickie" inequalities" (PDF). Math Strategies. Arhivirano s originala (PDF), 28. 1. 2004. Pristupljeno 18. 2. 2009.
  • Harold Shapiro (missingdate). "Mathematical Problem Solving". The Old Problem Seminar. Kungliga Tekniska högskolan. Provjerite format datuma u parametru |date= (pomoć)
  • "3rd USAMO". Arhivirano s originala, 3. 2. 2008. Pristupljeno 18. 2. 2009.
  • "The Starry Sky". Arhivirano s originala, 21. 12. 2008. Pristupljeno 18. 2. 2009. Cite journal zahtijeva |journal= (pomoć)
  • Ehrgott, Matthias (2005). Multicriteria Optimization. Springer-Berlin. ISBN 3-540-21398-8.

Vanjski linkoviUredi