Otvori glavni meni
Popločanje s kvadratima čije su stranice po dužini sukcesivni Fibonaccijevi brojevi

U matematici, Fibonaccijevi brojevi oblikuju niz definisan sljedećom rekurzivnom relacijom:

To jest, nakon dvije početne vrijedosti, svaki sljedeći broj je zbroj dvaju prethodnika. Prvi Fibonaccijevi brojevi (niz A000045 u OEIS) , također označeni kao Fn, za n = 0, 1, … , su:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514299, 832040...

Ponekad se za ovaj niz smatra da počinje na F1 = 1, ali uobičajenije je uključiti F0 = 0.

Fibonaccijevi brojevi su imenovani po Leonardu od Pise, poznatom kao Fibonacci, iako su ranije opisani u Indiji.[1][2]

Ako znamo Fibonaccijeve brojeve i onda možemo naći broj po formuli

Također imamo

Uopšteno

Binetova formulaUredi

Binetova formula je eksplicitno izražavanje vrijednosti   kao funkcije od  

 

gdje je   zlatni presjek. U tom slučaju   и   su rješenja jednačine  .

Iz Binetove formule za sve  , slijedi da je   za   najbliže cijelom broju tj.  

Za   je  .

Formula se može analitiči prikazati na sljedeći način

 

pri tome   vrijedi za svaki kompleksni broj

Odnos prema zlatnom odnosuUredi

U teoriji brojeva veliku ulogu igra broj   koji je korjen jednačine   i

 

Iz Binetove formule

 

Gdje je

 
 

Dalje imamo

 

i

 

Za sve vrijednosti a , b definišimo niz

 

Zadovoljena je i relaciija

 

Neka su   i   izabrani tako da je   i  onda dobijeni niz mora biti Fibonaccijev niz.

Brojevi   i   zafovoljavaju relaciju

 

 

Odnosno imamo

 

Uzimajući   i   kao početne varijable imamo

 

Odnosno

 
 .

Posmatrajmo sada

 

Za  , broj   najbliži cio broj je  , koji se može dobiti iz funkcije

 

ili

 

Slično ako je F>0 Fiboniccijev broj onda možemo odrediti njegov indeks unutar niza.

 

gdje se   može izračunati korištenjem logaritma druge baze

Primjer

 

OsobineUredi

Najveći zajednički djelitelj dva Fibonaccijeva broja je broj čiji je indeks jednak najvećem zajedničkom delitelju njihovih indeksa

Posljedice

  je djeljiv sa   ako i samo ako je   djeljivo sa  ( bez  )

  •   je djeljivo sa   samo ako je  
  •   je djeljivo sa   samo ako je  
  •   je djeljivo sa   samo ako je  

  je prost ako je   prost broj sa isključenjem  

 

Obratno ne važi tj ako je   prost broj   ne mora biti prost

 

Njegov polinom   ima korjene   i  

 

1964 godine Cochn je dokazao da su u nizu Fibonaccijevih brojeva jedini kvadrati brojevi sa indeksom 0,,1,2,12  ,  ,  ,  

Generirajuća funkcija niza fibonaccijevih brojeva je  

Fibonnaccijev niz brojevaUredi

Prvih 21 Fibonaccijevih brojeva   za  [3]

F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 F13 F14 F15 F16 F17 F18 F19 F20
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765

Ovaj niz brojeva može se proširiti i na negativne brojeve.

 
 

Niz brojeva   za  [4]

F−8 F−7 F−6 F−5 F−4 F−3 F−2 F−1 F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8
−21 13 −8 5 −3 2 −1 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21

IdentitetiUredi

  •  
  •  
  •  
  •  
  •   (см. рис.)
  •  
  •  
  •  
  •  

Opšte formule

  •  
  •  
  •  
 , kao i  ,

gdje matrice imaju oblik  , i  je imaginarna jedinica.

  • Fibonaccijeve brojeve možemo izraziti preko Chebyshevih polinoma
 
 

Za bilo koji  

 

Posljedica

 

Formula za ponovno dobijanje Fibonaccijevih brojeva je

 

Fibonnacijev niz u prirodiUredi

Fibonaccijev niz se često povezuje i sa brojem fi (phi), ili brojem kojeg mnogi zovu i "Božanskim omjerom". Uzmemo li jedan dio Fibonaccijevog niza, 2, 3, 5, 8, te podijelimo li svaki slijedeći broj s njemu prethodnim, dobit ćemo uvijek broj približan broju 1,618(2/3=1,5; 3/5=1,66; 5/8=1,6). Broj 1,618 jeste broj fi. Odnosi mjera kod biljaka, životinja i ljudi, sa zapanjujućom preciznošću se približava broju fi.

Slijedi nekoliko primjera broja fi i njegove povezanosti sa Fibonaccijem i prirodom:

  1. U pčelinjoj zajednici, košnici, uvijek je manji broj mužjaka pčela nego ženki pčela. Kada bi podijelili broj ženki sa brojem mužjaka pčela, uvijek bi dobili broj fi.
  2. Nautilus (glavonožac), u svojoj konstrukciji ima spirale. Kada bi izračunali odnos svakog spiralnog promjera prema slijedećem dobili bi broj fi.
  3. Sjeme suncokreta raste u suprotnim spiralama. Međusobni odnosi promjera rotacije je broj fi.
  4. Izmjerimo li čovječju dužinu od vrha glave do poda, zatim to podijelimo s dužinom od pupka do poda, dobijamo broj fi.

Također pogledajteUredi

ReferenceUredi

  1. ^ Parmanand Singh. Acharya Hemachandra and the (so called) Fibonacci Numbers. Math . Ed. Siwan , 20(1):28-30,1986.ISSN 0047-6269]
  2. ^ Parmanand Singh,"The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India. Historia Mathematica v12 n3, 229–244,1985
  3. ^ The Fibonacci series: 03. april 2011.
  4. ^ Negafibonacci Numbers and the Hyperbolic Plane


  Nedovršeni članak Fibonaccijev broj koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.