Mertensove teoreme

U matematici, Mertensovi teoremi su tri tezultata iz oblasti teorija brojeva iz 1874. godine, koji imaju veze sa gustoćom prostih brojeva, te jedan rezultat iz analize, koje je dokazao Franz Mertens.

U narednom, neka $p<n$ znači da svi prosto brojevi ne prelaze vrijednost $n$.

Mertensov prvi teorem:

$\ln n-\sum _{p<n}{\frac {\ln p}{p}}=O(1)\quad {\hbox{as}}\ n\to \infty ,$

Pogledajte Veliko O notacija.

Mertensov drugi teorem:

$\lim _{n\to \infty }\left(-\ln \ln n+\sum _{p<n}{\frac {1}{p}}\right)=0.2614972128\ldots ,$

pogledajte Meissel-Mertensova konstanta.

Mertensov treći teorem:

$\lim _{n\to \infty }\ln n\prod _{p<n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)=e^{-\gamma },$

gdje je γ Euler-Mascheronijeva konstanta.

Mertensov teorem može se, također, odnositi na rezultate ako realni ili kompleksni beskonačni red

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$

konvergira u $A$, a drugi

$\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$

konvergira apsolutno u $B$, tada njihov Cauchyjev proizvod konvergira u $AB$.

Dalje čitanje

• Yaglom and Yaglom Challenging mathematical problems with elementary solutions Vol 2, problems 171, 173, 174

Vanjski linkovi links

• Mertens Constant
• http://mathworld.wolfram.com/.html
• Mertens' Second Theorem