Kvadratne matrice

U matematici, kvadratna matrica je matrica u kojoj je broj redova i kolona isti. Taj broj se zove red matrice. Bilo koje dvije kvadratne matrice istog reda mogu se sabirati i množiti.[1]

Osobine kvadratnih matricaUredi

  1. Kvadratnu matricu uvijek možemo razviti po elementima bilo kojeg reda i bilo koje kolone. Uvijek dobijamo istu vrijednost determinante.
  2. Kvadratna matrica ne mijenja vrijednost, ako zamijenimo redove ili kolone kvadratne matrice u redoslijedu.
  3. Kvadratna matrica u kojoj su svi elementi jednog reda ili jedne kolone nule, ima vrijednost jednaku nuli.
  4. Ako u kvadratnoj matrici dvije kolone ili dva reda međusobno zamijene položaj, kvadratna matrica mijenja predznak.
  5. Kvadratna matrica ne mijenja svoje vrijednosti ako elementima jednog reda (jedne kolone) dodamo odgovarajuće elemente drugog reda (kolone) eventualno pomnožene bilo kojom konstantom.

Glavna diagonalaUredi

Elementi   čine glavnu diagonale kvadratne matrice. Ovi elementi leže na zamišljenoj ravnoj liniji koja se proteže od gornjeg lijevog ugla prema donjem desnom uglu matrice.

Primjer

Glavnu diagonalu matrice  

čine elementi  .

Diagonala koja prolazi od donjeg lijevog ugla do gornjeg desnog naziva se strana.

Trag matriceUredi

Zbir elemenata na glavnoj diagonali kvadratne matrice zovemo trag matrice i pišemo  . Tj.

 .

Množenje kvadratnih matricaUredi

Kvadratne matrice imaju redova koliko i kolona, pa se mogu množiti u bilo kojem poretku. U tom slučaju proizvod nije komutativan kao što pokazuje sljedeći primjer.

Primjer

Neka su dane matrice

 

   

    tj.

 

Specijalni slučajeviUredi

  • Ako su svi elementi sem elemenata glavne diagonale jednaki nuli matrica   je diagonalna.
  • Ako su svi elementi iznad (ispod) glavne diagonale jednaki nuli, matrica   zove se donje (gornje) trouglasta matrica.
Naziv primjer za  
Diagonalna  
Donjetrouglasta matrica  
gornje trouglasta matrica  
  • Ako je  ,tj. ako je matrica diagonalna i ako su joj elementi na glavnoj diagonali međusobno jednaki onda je skalarna
  • Skalarna matrica je diagonalna, dok obrat ne vrijedi.
  • Nulmatrica   i jedinična matrica   su skalarne matrice. Svaka skalarna matrica ima oblik  , gdje je   realan broj.
  •   za svaku kvadratnu matricu   bilo koja skalarna matrica komutira sa svakom matricom  
  • simetrična matrica, ako je  
  • antisimetrična matrica, ako je  
  • ortogonalna matrica, ako je  

Elementi na glavnoj diagonali antisimetrične matrice su nule. Svaka kvadratna matrica se može na jedinstven način razložiti na zbir simetrične i antisimetrične matrice

 

Da je   simetrična, a   antisimetrična matrica, što se vidi upotrebom gornjih osobina.

Jedinična matricaUredi

Jedinična matrica   je   matrica kod koje su svi elementi na glavnoj diagonali jednaki 1, a ostali elementi su jednaki  .[2]

 

Množenje jediničnom matricom

 

Simetrične i antisimetrične matriceUredi

Kvadratna matrica  , koja je identična sa svojon transponiranom matricom , tj.  , je simetrična. Ako je   jednaka negativnoj transponiranoj matrici tj   onda je asimetrična.

Inverzna matricaUredi

Kvadratna matrica   je inverzna matrica matrice   ako vrijedi.u B, tako da  [3]

Ako postoji takva matrica B ona je jedinstvena i naziva se inverzna matrica matrice  . Označava se sa  .

IzvoriUredi

ReferenceUredi

  1. ^ Square Matrix
  2. ^ Jedinična matrica I kvadratna je matrica odgovarajućega reda
  3. ^ "inverzne matrice". Arhivirano s originala, 1. 2. 2018. Pristupljeno 15. 5. 2016.