Adjungovana matrica

U linearnoj algebri, adjungovana ili klasični pridodatak kvadratne matrice je matrica koji igra ulogu sličnu inverzu matrice; može se, međutim, definisati za svaku kvadratnu matricu bez potrebe da se obavlja bilo kakvo dijeljenje.

DefinicijaUredi

Pretpostavimo da je R komutativni prsten i A je matrica dimenzije n×n sa vrijednostima iz R. Definicija adjungovane matrice od A je proces iz više koraka:

  • Definišimo (i,j) minor od A, u oznaci Mij, kao determinantu matrice dimnezije (n − 1)×(n − 1), koja rezultuje brisanjem reda i i kolone j od A.
  • Definišimo (i,j) kofaktor matrice A kao
 
  • Definišimo matricu kofaktora matriceA, kao matricu C, dimenzije n×n, čija je vrijednost (i,j) je (i,j) kofaktor matrice A.

adjungovana matrica matrice A je transponovana matrica matrice kofaktora matrice A:

 .

To jeste, adjungovana matrica matrice A je matrica dimenzije n×n čije su (i,j) vrijednosti (j,i) kofaktori matrice A:

 .

PrimjeriUredi

Svojstvena matrica dimenzije 2x2Uredi

Adjungovana matrica matrice dimenzije  

 

je

 .

Svojstvena matrica dimenzije 3x3Uredi

Razmotrimo matricu dimenzije  

 .

Njena adjungovana matrica je

 

gdje je

 .

Uočite da je adjungovana matrica transponovana matrica matrice kofaktora. Zbog toga, naprimjer, vrijednost (3,2) adjungovana matrice je kofaktor (2,3) matrice A.

Numerička matrica dimenzije 3x3Uredi

Kao specifični primjer imamo

 .

−6 u trećem redu, drugoj koloni adjungovane matrice, izračunato je na sljedeći način:

 .

Ponovo, vrijednost (3,2) adjungovane matrice je kofaktor (2,3) matrice A. Zbog toga, podmatrica

 

dobivena je brisanjem drugog reda i treće kolone originalne matrice A.

PrimjeneUredi

Kao posljedica Laplaceove formule za determinantu matrice A dimenzije n×n, imamo

 

gdje je I jedinična matrica dimenzije n×n. Uistinu, vrijednost (i,i) proizvoda A adj(A) je skalarni proizvod reda i matrice A sa redom i matrice kofaktora C, koji je jednostavno Laplaceova formula za det(A) proširen sa redom i. Više, za ij, vrijednost (i,j) prooizvoda je skalarni proizvod reda i matrice A sa redom j matrice C, koji je Laplaceova formula fza determinantu matrice čiji su i i j redovi jednaki, i koja je zbog toga, jednaka nuli.

Iz ove formule slijedi jeda od najvažnijih rezultata u matričnoj algebri: Matrica A nad komutativnim prostenom R je inverzna ako i samo ako je det(A) inverzna u R.

Ako je A inverzna matrica, tada je

 

a ako je det(A) jedinica, tada (*) iznad pokazuje da je

 

OsobineUredi

Adjungovana matrica ima osobine

 
 

za sve matrice A and B dimenzija n×n.

Adjungovana matrica zadržava transpoziciju:

 .

Dalje, ako je   nesingularna, tada je

 .

Ako je p(t) = det(A − tI) karakteristični polinom matrice A, te ako definišemo polinom q(t) = (p(0) − p(t))/t, tada je

 ,

gdje su   koeficijenti od p(t),

 

Adjungovana matrica također se pojavljuje u formuli derivacije determinante.

ReferenceUredi

  • Strang, Gilbert (1988). "Section 4.4: Applications of determinants". Linear Algebra and its Applications (3rd izd.). Harcourt Brace Jovanovich. str. 231–232. ISBN 0-15-551005-3. CS1 održavanje: nepreporučeni parametar (link)

Vanjski linkoviUredi