Okolina (matematika)

matematika
Question book-new.svg Ovaj članak ili neka od njegovih sekcija nije dovoljno potkrijepljena izvorima (literatura, web-stranice ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe pouzdanim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti obrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Skup u ravni je okolina tačke ako se mali disk oko nalazi u
Pravougaonik nije okolina nijednog od svojih uglova.

U topologiji i srodnim matematičkim oblastima, okolina je jedan od osnovnih pojmova u topološkom prostoru. Intuitivno govoreći, okolina tačke je skup koji sadrži tačku u kome se može pomjerati malo, bez da napusti skup.

Ovaj koncept je blisko povezan sa konceptima otvornog skupa i unutrašnjosti.

DefinicijaUredi

Neka je X topološki prostor, a p je tačka u X, okolina tačke p je skup V, koji sadrži otvoren skup U koji sadrži p,

 

Treba imati u vidu da okolina V ne mora i sama da bude otvoren skup. Ako je V otvoren, onda se radi o otvorenoj okolini. Neki autori zahtijevaju da okoline budu otvorene, pa je važno da se vodi računa o konvencijama koje se koriste.

Ako je S podskup od X, okolina od S je skup V, koji sadrži otvoren skup U koji sadrži S. Slijedi da je skup V okolina skupa S, ako i samo ako je okolina svih tačaka u S.

U metričnom prostoruUredi

 
Skup   u ravni i uniformna okolina   od  

U metričnom prostoru M = (X, d), skup V je okolina tačke p ako postoji otvorena kugla sa centrom p i poluprečnikom r,

 

koja se sadrži u V.

V se naziva uniformnom okolinom skupa S ako postoji pozitivan broj r takav da za sve elemente p iz S,

 

se nalazi u V.

Za r>0, r-okolina   skupa S je skup svih tačaka u X koje su na razdaljini manjoj od r od S (ili ekvivalentno,   je unija svih otvorenih kugli poluprečnika r sa centrom u tački S).

Direktna posljedica je da je r-okolina uniformna okolina, i da je skup uniformna okolina ako i samo ako sadrži r-okolinu za neku vrijednost r.

PrimjeriUredi

Ako je dat skup realnih brojeva, R sa uobičajenom euklidskom metrikom i podskup V definiran kao

 

tada je V okolina za skup N, prirodnih brojeva, ali nije uniformna okolina ovog skupa.

Također pogledajteUredi

LiteraturaUredi

  • Kelley, John L. (1975). General topology. New York: Springer-Verlag. ISBN 0387901256.
  • Bredo, Glen E. (1993). Topology and geometry. New York: Springer-Verlag. ISBN 0387979263.
  • Kaplansky, Irving (2001). Set Theory and Metric Spaces. American Mathematical Society. ISBN 0821826948.