Okolina (matematika)

U topologiji i srodnim matematičkim oblastima, okolina je jedan od osnovnih pojmova u topološkom prostoru. Intuitivno govoreći, okolina tačke je skup koji sadrži tačku u kome se može pomjerati malo, bez da napusti skup.

Skup $V$ u ravni je okolina tačke $p$ ako se mali disk oko $p$ nalazi u $V.$

Pravougaonik nije okolina nijednog od svojih uglova.

Ovaj koncept je blisko povezan sa konceptima otvornog skupa i unutrašnjosti.

Definicija

Neka je X topološki prostor, a p je tačka u X, okolina tačke p je skup V, koji sadrži otvoren skup U koji sadrži p,

$p\in U\subseteq V.$

Treba imati u vidu da okolina V ne mora i sama da bude otvoren skup. Ako je V otvoren, onda se radi o otvorenoj okolini. Neki autori zahtijevaju da okoline budu otvorene, pa je važno da se vodi računa o konvencijama koje se koriste.

Ako je S podskup od X, okolina od S je skup V, koji sadrži otvoren skup U koji sadrži S. Slijedi da je skup V okolina skupa S, ako i samo ako je okolina svih tačaka u S.

U metričnom prostoru

Skup $S$ u ravni i uniformna okolina $V$ od $S.$

U metričnom prostoru M = (X, d), skup V je okolina tačke p ako postoji otvorena kugla sa centrom p i poluprečnikom r,

$B_{r}(p)=B(p;r)=\{x\in X\mid d(x,p)<r\}$

koja se sadrži u V.

V se naziva uniformnom okolinom skupa S ako postoji pozitivan broj r takav da za sve elemente p iz S,

$B_{r}(p)=\{x\in X\mid d(x,p)<r\}$

se nalazi u V.

Za r>0, r-okolina $S_{r}$ skupa S je skup svih tačaka u X koje su na razdaljini manjoj od r od S (ili ekvivalentno, $S_{r}$ je unija svih otvorenih kugli poluprečnika r sa centrom u tački S).

Direktna posljedica je da je r-okolina uniformna okolina, i da je skup uniformna okolina ako i samo ako sadrži r-okolinu za neku vrijednost r.

Primjeri

Ako je dat skup realnih brojeva, R sa uobičajenom euklidskom metrikom i podskup V definiran kao

$V:=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }B\left(n\,;\,{\frac {1}{n}}\right),$

tada je V okolina za skup N, prirodnih brojeva, ali nije uniformna okolina ovog skupa.

Također pogledajte

• Tubularna okolina
• Obična okolina

Literatura

• Kelley, John L. (1975). General topology. New York: Springer-Verlag. ISBN 0387901256.

• Bredo, Glen E. (1993). Topology and geometry. New York: Springer-Verlag. ISBN 0387979263.

• Kaplansky, Irving (2001). Set Theory and Metric Spaces. American Mathematical Society. ISBN 0821826948.