Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljen izvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori). Ako se pravilno ne potkrijepe pouzdanim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti izbrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
Predloženo je da se ovaj članak podijeli na više članaka. Izjasnite se o podjeli članka na stranici za razgovor.
Vektor je pojam iz matematike, oblasti linearna algebra, koji je uveden prvenstveno da bi se razlikovale veličine koje se pojavljuju u prirodi, a imaju pravac i smijer, te se kao takve razlikuju od veličina koje imaju samo veličinu i zovu se skalari.
Vektorske veličine su veličine određene sa dva ili više parametara. Najpoznatiji su primjeri vezani za geometriju u prostoru gdje se vektor određuje pravcem, smijerom i intezitetom a predstavlja strelicom orijentisanom duž pravca, dužine proporcionalne intenzitetu, a čiji vrh pokazuje smijer na zadatom pravcu. Generalizovani vektor ne mora biti ograničen na tri dimenzije. Vektor u n-dimenzionalnom prostoru opisuje se sa n parametara.
Fizičke veličine čija vektorska vrijednost zavisi i od koordinate nazivaju se tenzorske. One se matematički predstavljaju matricom, u najprostijem slučaju 3h3. Tenzorskim veličinama se opisuju vektorske veličine u anizotropnoj sredini recimo kod nekubičnih kristala. Tenzorse veličine su toplotna provodljivost, električna provodljivost, difuzioni koeficijent, indeks preklamanja itd...
Vektor je klasa ekvivalencije orjentisanih duži.[1]
Vektor se može definisati uređenim parom tačaka i iz . Tada je:
Vektor se može predstaviti i sa polaznom tačkom, jediničnim vektorom koji određuje njegov smjer i intenzitetom:
Ako zamjenimo sa koje može biti bilo koji broj iz definisali smo pravu koja prolazi kroz tačku a za vektor pravca ima vektor . Ako je samo ne-negativno ili samo ne-pozitivno, definisana je poluprava, sa početkom u tački .
Ako je rezultat je vektor koji je sa prethodnim kolinearan. Ako je novi vektor ovo znači da važi:
Vektori se označavaju malim podebljanim slovima kao a i malim kosim i podebljanim a, Druge konvencije uključuju . Alternativno, neki koriste (~) ili valovita podcrtano nacrtana ispod simbola, npr . Ako vektor predstavlja orjrntisanu duž ili pomak iz tačke A do tačke B označena kao ili AB.
Vektori se predstavljaju i grafički.
Primjer
vektor od koordinantnog početka do tačke je
U trodimenzionalnom prostoru vektor se označava sa
ili
.
U n-dimensionalnom prostoru
Pomoću matrica označavaju se kao vektor reda ili vektor kolone
.
Drugi način predstavljanja vektora n-dimenzionalnom prostoru je pomoću je stamdardnih baznih vektora
Jedinični vektor ili ort je vektor čiji je intenzitet jednak jedinici. Za svaki ne-nula vektor može se odrediti odgovarajući jedinični vektor istog pravca i smjera.
Ovaj postupak se zove normiranje vektora.
U Dekartovim koordinatama vektor je jedinični vektor duž x- ose. njegov početak je u koordinantnom portku .
Nad vektorima, kao i svim ostalim elemetima analitičke matematike, se mogu uvesti aritmetičke operacije. Pri tome se vektor predstavlja kao uređena n-torka skalara koji pripadaju nekom polju K. Na primjer:
, ,
Je jedan n-dimenzionalni vektor nad poljem K. Pojam n-dimenzionalni dolazi od činjenice da je vektor definisan pomoću n skalara. Prostor ovih vektora se još naziva , a skalari koji čine vektor zajedno sa informacijom o njihovoj poziciji u uređenoj n-torki koordinate vekrora. Na primjer je prva koordinata vektora, je druga koordinata vektora itd.
Slijede osnovne operacije nad vektorima, koje se u principu definišu nad vektorima istih dimenzija.
Slično sabiranju, skalarno množenje vektora se definiše kao zbir proizvoda svih parova koordinata dva vektora, koja imaju iste indekse. Ovaj zbir i proizvod se preuzimaju iz polja K. Razlika u odnosu na sabiranje je to što je rezultat skalarnog proizvoda dva vektora iz u stvari jedan skalar iz K. Konkretno za dva vektora a i b iz bi proizvod k izgledao ovako:
, , gde je
Ovdje treba primijetiti da je skalarni proizvod vektora također jednak
,
pri čemu je ugao između a i b.
Ovo zapravo znači i:
To jest da su dva vektora normalni, ako im je skalarni proizvod jednak nuli.
Još jedan tip proizvoda karakterestičan za trodimenzionalne euklidske prostore () je vektorski proizvod. Definiše se na sljedeći način:
Jer su , i vektori kanonske baze .
Kod vektorskog proizvoda je bitno primijetiti sljedeće osobine:
, tj. vektorski proizvod dva vektora je normalan na njih same. , gde je ugao između ova dva vektora. Ovo zapravo znači da je intenzitet vektorskog proizvoda dva vektora jednak površini paralelograma koga čine ovi vektori. , tj. vektorski proizvod nije komutativan. , gde je . Tj. vektorski proizvod se lijepo ponaša prema množenju skalarom slijeva.
Mješoviti proizvod vektora je trinarna matematička operacija koja uređenu trojku vektora iz preslikava u skalar iz E. Zapisuje se sa . A po definiciji je:
Što znači da je vrijednost mješovitog proizvoda tri vektora jednaka zapremini paralelopipeda koga oni čine. Slijede neka osnovna svojstva mješovitog proizvoda: