Euklidov vektor

Vektor je pojam iz matematike, oblasti linearna algebra, koji je uveden prvenstveno da bi se razlikovale veličine koje se pojavljuju u prirodi, a imaju pravac i smijer, te se kao takve razlikuju od veličina koje imaju samo veličinu i zovu se skalari.

Vektor AB

Vektorske veličine su veličine određene sa dva ili više parametara. Najpoznatiji su primjeri vezani za geometriju u prostoru gdje se vektor određuje pravcem, smijerom i intezitetom a predstavlja strelicom orijentisanom duž pravca, dužine proporcionalne intenzitetu, a čiji vrh pokazuje smijer na zadatom pravcu. Generalizovani vektor ne mora biti ograničen na tri dimenzije. Vektor u n-dimenzionalnom prostoru opisuje se sa n parametara.

Fizičko tumačenje vektora obično se svodi na trodimenzionalni prostor. Tako su vektorske veličine brzina, sila, ubrzanje, moment količine kretanja... a skalarne masa, temperatura, zapremina.

Fizičke veličine čija vektorska vrijednost zavisi i od koordinate nazivaju se tenzorske. One se matematički predstavljaju matricom, u najprostijem slučaju 3h3. Tenzorskim veličinama se opisuju vektorske veličine u anizotropnoj sredini recimo kod nekubičnih kristala. Tenzorse veličine su toplotna provodljivost, električna provodljivost, difuzioni koeficijent, indeks preklamanja itd...

DefinicijaUredi

Vektor je klasa ekvivalencije orjentisanih duži.[1]

Vektor se može definisati uređenim parom tačaka   i   iz  . Tada je:

 

Vektor se može predstaviti i sa polaznom tačkom, jediničnim vektorom koji određuje njegov smjer i intenzitetom:

 

Ako   zamjenimo sa   koje može biti bilo koji broj iz   definisali smo pravu koja prolazi kroz tačku   a za vektor pravca ima vektor  . Ako je   samo ne-negativno ili samo ne-pozitivno, definisana je poluprava, sa početkom u tački  .

Ako je   rezultat je vektor koji je sa prethodnim kolinearan. Ako je novi vektor   ovo znači da važi:

 

OznačavanjeUredi

Vektori se označavaju malim podebljanim slovima kao a i malim kosim i podebljanim a, Druge konvencije uključuju  . Alternativno, neki koriste (~) ili valovita podcrtano nacrtana ispod simbola, npr  . Ako vektor predstavlja orjrntisanu duž ili pomak iz tačke A do tačke B označena kao   ili AB. Vektori se predstavljaju i grafički.

Primjer

vektor od koordinantnog početka   do tačke   je  

U trodimenzionalnom prostoru   vektor se označava sa

  ili  .

U n-dimensionalnom   prostoru

  Pomoću matrica označavaju se kao vektor reda ili vektor kolone

 . Drugi način predstavljanja vektora n-dimenzionalnom prostoru je pomoću je stamdardnih baznih vektora

 .

odnosno

 

ili

 .

Dekartove koordinateUredi

U Dekartovom koordinatnom sistemu, vektor le određen koordinatama početne i završne tačke.

Primjer

Tačke   i   u prostoru određuju vektor  

Nula-vektorUredi

Nula-vektor   je vektor čiji je intenzitet jednak nuli. Obiljeležava se kao nula sa naznakom za vektor.[2]

 

 

Jedinični vektorUredi

Jedinični vektor ili ort je vektor čiji je intenzitet jednak jedinici. Za svaki ne-nula vektor   može se odrediti odgovarajući jedinični vektor   istog pravca i smjera.

 

Ovaj postupak se zove normiranje vektora.

U Dekartovim koordinatama vektor   je jedinični vektor duž x- ose. njegov početak je u koordinantnom portku  .

Intenzitet vektoraUredi

Intenzitet vektora ili modul vektora se u euklidovoj geometriji definiše kao kvadratni korjen zbira kvadrata njegovih koordinata.

 

Jednakost vektoraUredi

Dva vektora

 

i

 

su jednaka ako važi

 

Kolinearni i komplanarni vektoriUredi

Vektori koji pripadaju istoj ili paralelnim pravama su kolinearni [3], a koj ipripadaju istoj ili paralelnim ravnima su komplanarni.[4],

Projekcija vektoraUredi

Projekcija vektora

  • Ortogonalna projekcija u ravni na pravu   je funkcija koja svakoj tački

  ravni pridružuje tačku u kojoj normala na  , koja prolazi tačkom  , siječe prava  .

  • Ortogonalna projekcija u prostoru na pravu   je funkcija koja svakoj tački

  prostora pridružuje tačku u kojoj ravan koja prolazi tačkom  ,a okomita je na  , siječe pravu  .[1]

Suprotni, paralelni, i antiparalelni vektoriUredi

Dva vektora su suprotna ako imaju isti pravac i intenzitet a suprotan smjer tj. dva vektora

 

i

 

su suprotna ako važi

 

Dva vektora su paralelna ako imaju isti smjer, ili antiparalelni ako imaju suprotan smjer. Jednakost intenziteta nije nužan uslov

Operacije nad vektorimaUredi

Nad vektorima, kao i svim ostalim elemetima analitičke matematike, se mogu uvesti aritmetičke operacije. Pri tome se vektor predstavlja kao uređena n-torka skalara koji pripadaju nekom polju K. Na primjer:

 ,  ,  

Je jedan n-dimenzionalni vektor nad poljem K. Pojam n-dimenzionalni dolazi od činjenice da je vektor definisan pomoću n skalara. Prostor ovih vektora se još naziva  , a skalari koji čine vektor zajedno sa informacijom o njihovoj poziciji u uređenoj n-torki koordinate vekrora. Na primjer   je prva koordinata vektora,   je druga koordinata vektora itd.

Slijede osnovne operacije nad vektorima, koje se u principu definišu nad vektorima istih dimenzija.

Intenzitet vektoraUredi

Intenzitet vektora se u euklidovoj geometriji definiše kao kvadratni korijen zbira kvadrata njegovih koordinata.[5]

 
 

Množenje vektora skalaromUredi

Množenje vektora   nekim skalarom   je definisano kao množenje svake koordinate tog vektora tim skalarom. Ova operacija je komutativna.

  =   =  

Sabiranje vektoraUredi

 
Sabiranje vektora
 
Oduzimanje vektora

Uzmimo dva vektora  :

 
 

Njihovo sabiranje se u principu definiše kao sabiranje komponenti sa istim indeksima.

 
 ,
 , gde je  

Pri čemu će vektor c biti iz prostora  . Oduzimanje vektora bi se vršilo po sličnom principu:

 

Pri čemu  .

Skalarno množenje vektoraUredi

Slično sabiranju, skalarno množenje vektora se definiše kao zbir proizvoda svih parova koordinata dva vektora, koja imaju iste indekse. Ovaj zbir i proizvod se preuzimaju iz polja K. Razlika u odnosu na sabiranje je to što je rezultat skalarnog proizvoda dva vektora iz   u stvari jedan skalar iz K. Konkretno za dva vektora a i b iz   bi proizvod k izgledao ovako:

 
 ,  
 , gde je  

Ovdje treba primijetiti da je skalarni proizvod vektora također jednak

 ,

pri čemu je   ugao između a i b.

Ovo zapravo znači i:

 

To jest da su dva vektora normalni, ako im je skalarni proizvod jednak nuli.

Vektorski proizvodUredi

Još jedan tip proizvoda karakterestičan za trodimenzionalne euklidske prostore ( ) je vektorski proizvod. Definiše se na sljedeći način:

 
     

Jer su  ,   i   vektori kanonske baze  .

Kod vektorskog proizvoda je bitno primijetiti sljedeće osobine:

 , tj. vektorski proizvod dva vektora je normalan na njih same.
 , gde je   ugao između ova dva vektora. Ovo zapravo znači da je intenzitet vektorskog proizvoda dva vektora jednak površini paralelograma koga čine ovi vektori.
 , tj. vektorski proizvod nije komutativan.
 , gde je  . Tj. vektorski proizvod se lijepo ponaša prema množenju skalarom slijeva.

Mješoviti proizvodUredi

Mješoviti proizvod vektora je trinarna matematička operacija koja uređenu trojku vektora iz   preslikava u skalar iz E. Zapisuje se sa  . A po definiciji je:

     

Što znači da je vrijednost mješovitog proizvoda tri vektora jednaka zapremini paralelopipeda koga oni čine. Slijede neka osnovna svojstva mješovitog proizvoda:

  •  
  •  
  •  
  •  

Također pogledajteUredi

IzvoriUredi

  1. Vector
  2. Introducing vectors/ 07.03.1997
  3. Vektorrechnung fürs Abitur / 24.11.2013.
  4. Vektoren 1
  5. POJAM VEKTORA

ReferenceUredi

  1. ^ Vektor je
  2. ^ Nula vektor
  3. ^ dva ili više vektora su kolinearni/2.12. 2013
  4. ^ dva ili više vektora su komplanarni/ 02.12.2013
  5. ^ Intenzitet vektora