U matematici determinanta je funkcija definisana na skupu svih kvadratnih matrica. Ona poprima vrijednosti iz skupa skalara. Osim oznake za determinantu kvadratne matrice
često se koristi i oznaka
[1]
Za fiksiran pozitivni cijel broj, postoji jedinstvena funkcija determinante za matrice nad bilo kojim komutativnim prstenom . Specijalno, ova funkcija postoji kada je polje realnih ili kompleksnih brojeva.
Determinanta matrice definiše se induktivno, tj. determinanta matrice − tog reda definiše se pomoću determinante matrice −og reda. Pođimo redom.
Površina paralelograma je determinanta matrice koja se dobija od vektora koji predstavljaju stranice paralelograma
Interpretacija kada matrica ima elemente koji su realni brojevi je da daje orijentisanu površinuparalelograma sa vrhovima , , (, i . (Za ovaj paralelogram kažemo da je razapet nad vektorima i .) Orijentisana površina je ista kao i uobičajena površina, osim što je negativna kada se vrhovi poredaju u pravcu kazaljke na satu.
Dobijen korištenjem Laplasovog razvoja po elementima prvog reda matrice.
Formula za determinantu formata se lako pamti primjenom „Sarusovog pravila“. Determinanta matrice formata jednaka je zbiru proizvoda elemenata tri dijagonalne linije koje vode od severozapada do jugoistoka, minus zbir proizvoda elemenata tri diagonalne linije koje vode od jugozapada do sjeveroistoka, kada se prve dve kolone matrice prepišu pored matrice kao što je pokazano:
Sarusovo pravilo je samo vizuelna pomoć za pamćenje formule, i ne važi za matrice većeg formata.
Determinanta je multiplikativno preslikavanje u smislu da
, za sve n-sa-n matrice i
i zato
, za svaku -sa- matricu i za svaki skalar
Matrica nad komutativnim prstenom je invertibilna ako i samo ako je njena determinanta jedinica (odnosno invertibilan element) u . Specijalno, ako je matrica nad poljem kao što su realni ili kompleksni brojevi, onda je A invertibilna ako i samo ako je različita od nule. U ovom slučaju imamo
Determinante kompleksne matrice, i njoj konjugovano transponovane matrice su konjugovani kompleksni brojevi:
Ako dvije kolone ili dva reda determinante zamjene mjesta, determinanta mijenja predznak
Determinanta se množi skalarom tako da se samo jedna kolona pomnoži tim skalarom>
Dodavanje proizvoda reda ili kolone drugoj vrsti ili koloni ne menja determinantu.
Determinanta ne mijenja vrijednost ako nekoj koloni determinante dodamo linearnu kombinaciju preostalih kolona.
Ako su i slične matrice, to jest, postoji invertibilna matrica , takva da , onda po multiplikativnoj osobini
Ako je trouglasta matrica n-tog reda, onda je
Ako matrica ima dvije jednake kolone, onda je det
Ako iščezavaju svi elementi neke kolone matrice , onda je
Ako je neka kolona determinante linearna kombinacija preostalih kolona te determinante, onda je determinanta jednaka nuli.
Najprije ćemo uvesti ovaj pojam posmatrajući sisten od dvije linearne jednačine s dvije
nepoznate
ovaj sistem matrično zapisujemo sa
za
i
Sistem ćemo riješiti metodom suprotnih koeficienata. Množeći prvu jednačinu sistema brojem , a drugu brojem , nakon sabiranja dobijenih jednačina dobijamo
(
što moženo zapisati
tj za
Slično dobijamo
gdje je
Tj dobili smo sistem
Sada imamo
ako je
i
Za i sistem ima beskonačno mnogo rješenja
Ako je , i barem jedan od brojeva i je različit od 0(nule) sistem nema rješenja.
Navedene tvrdnje poznate su kao Cramerovo pravilo.
Determinante realnih kvadratnih matrica su polinomijalne funkcije sa na , i kao takve su uvijek diferencijabilne. Njihov izvod se može izraziti pomoću Jakobijeve formule:
gde označava adjungovanu matricu od A. Specijalno, ako je A invertibilna, imamo
ili,
ako su članovi matrice jako mali. Specijalan slučaj kada je jednaka jediničnoj matrici, dobija se
.
Kao izvod po svakom posebnom elementu matrice, ove formule glase