Determinanta

(Preusmjereno sa Determinante)

U matematici determinanta je funkcija definisana na skupu svih kvadratnih matrica. Ona poprima vrijednosti iz skupa skalara. Osim oznake za determinantu kvadratne matrice

često se koristi i oznaka

[1] Za fiksiran pozitivni cijel broj , postoji jedinstvena funkcija determinante za matrice nad bilo kojim komutativnim prstenom . Specijalno, ova funkcija postoji kada je polje realnih ili kompleksnih brojeva.

Determinanta matrice definiše se induktivno, tj. determinanta matrice − tog reda definiše se pomoću determinante matrice −og reda. Pođimo redom.

Definicija (Determinanta prvog reda)

Determinanta matrice je broj a

Definicija (Determinanta drugog reda)

Determinantom matrice

zovemo broj [2]

Interpretacija kada matrica ima elemente koji su realni brojevi je da daje orijentisanu površinu paralelograma sa vrhovima , , (, i . (Za ovaj paralelogram kažemo da je razapet nad vektorima i .) Orijentisana površina je ista kao i uobičajena površina, osim što je negativna kada se vrhovi poredaju u pravcu kazaljke na satu.

Primjer

Za

Za

Definicija (Determinanta trećeg reda)

Determinanta matrice je broj [3]

Dobijen korištenjem Laplasovog razvoja po elementima prvog reda matrice.

Formula za determinantu formata se lako pamti primjenom „Sarusovog pravila“. Determinanta matrice formata jednaka je zbiru proizvoda elemenata tri dijagonalne linije koje vode od severozapada do jugoistoka, minus zbir proizvoda elemenata tri diagonalne linije koje vode od jugozapada do sjeveroistoka, kada se prve dve kolone matrice prepišu pored matrice kao što je pokazano:

Sarusovo pravilo je samo vizuelna pomoć za pamćenje formule, i ne važi za matrice većeg formata.

Definicija (Determinanta n-tog reda)

Determinanta matrice je broj

Primjer

Izračunati determinantu

Laplaceov razvoj determinante

uredi

Determinantu možemo računati tako da ju razvijemo po bilo kojem redu ili koloni. Za matricu   reda   imamo razvoje:

  • po i- toj koloni :  
  • po i− tom redu:  
Primjer

Pretpostavimo da želimo da izračunamo determinantu matrice

 .

Direktno koristeći Lajbnicovu formulu

     
 
   

Koristeći Laplasov razvoj duž vrste ili kolone. Najbolje je izabrati red ili kolonu sa što više nula. Biramo drugu kolonu:

     
   
   

Treći način i najpraktičniji za veće matrice koristeći Gausov algoritam.

 

Ova determinanta se može brzo razložiti po prvoj koloni:

     
   

Osobine determinante

uredi
  • Determinanta je multiplikativno preslikavanje u smislu da
 , za sve n-sa-n matrice   i  
  •   i zato
 , za svaku  -sa-  matricu   i za svaki skalar  
  • Matrica nad komutativnim prstenom   je invertibilna ako i samo ako je njena determinanta jedinica (odnosno invertibilan element) u  . Specijalno, ako je   matrica nad poljem kao što su realni ili kompleksni brojevi, onda je A invertibilna ako i samo ako je   različita od nule. U ovom slučaju imamo
 
  • Determinante kompleksne matrice, i njoj konjugovano transponovane matrice su konjugovani kompleksni brojevi: 
  • Ako dvije kolone ili dva reda determinante zamjene mjesta, determinanta mijenja predznak
  • Determinanta se množi skalarom tako da se samo jedna kolona pomnoži tim skalarom>
  • Dodavanje proizvoda reda ili kolone drugoj vrsti ili koloni ne menja determinantu.
  • Determinanta ne mijenja vrijednost ako nekoj koloni determinante dodamo linearnu kombinaciju preostalih kolona.
  • Ako su   i   slične matrice, to jest, postoji invertibilna matrica  , takva da  , onda po multiplikativnoj osobini
 
  1. Ako je   trouglasta matrica n-tog reda, onda je  
  2. Ako matrica   ima dvije jednake kolone, onda je det  
  3. Ako iščezavaju svi elementi neke kolone matrice  , onda je  
  4. Ako je neka kolona determinante linearna kombinacija preostalih kolona te determinante, onda je determinanta jednaka nuli.
  5. Matrica   je regularna onda i samo onda ako je  

Cramerovo pravilo

uredi

Najprije ćemo uvesti ovaj pojam posmatrajući sisten od dvije linearne jednačine s dvije nepoznate

 
 

ovaj sistem matrično zapisujemo sa

  za
  i  

Sistem ćemo riješiti metodom suprotnih koeficienata. Množeći prvu jednačinu sistema brojem  , a drugu brojem  , nakon sabiranja dobijenih jednačina dobijamo

( 

što moženo zapisati

  tj   za  

Slično dobijamo

  gdje je

 

Tj dobili smo sistem

 
 

Sada imamo

  • ako je  

  i   Za   i   sistem ima beskonačno mnogo rješenja

  • Ako je  , i barem jedan od brojeva   i   je različit od 0(nule) sistem nema rješenja.

Navedene tvrdnje poznate su kao Cramerovo pravilo.

Izvod

uredi

Determinante realnih kvadratnih matrica su polinomijalne funkcije sa   na  , i kao takve su uvijek diferencijabilne. Njihov izvod se može izraziti pomoću Jakobijeve formule:

 

gde   označava adjungovanu matricu od A. Specijalno, ako je A invertibilna, imamo

 

ili,

 

ako su članovi matrice   jako mali. Specijalan slučaj kada je   jednaka jediničnoj matrici,   dobija se

 .

Kao izvod po svakom posebnom elementu matrice, ove formule glase

 

Izvori

uredi

Reference

uredi