Cauchyjev granični uvjet

U matematici, Cauchyjev granični uvjet nametnut običnim ili parcijalnim diferencijalnim jednačinama specificira obje vrijednosti, rješenje diferencijalne jednačine na granici domena i derivacije pravca na granicama. Ovaj uvjet odgovara nametanju Dirichletovog i Neumannovog graničnog uvjeta. Dobio je naziv po francuskom matematičaru iz 19. vijeka, Augustinu Louisu Cauchyju.

Cauchyjev granični uvjet može se razumjeti pomoću teorije drugog reda, obične diferencijalne jednačine, gdje, da bismo imali određeno rješenje, moramo imati specifične vrijednosti funkcije i vrijednost derivacije u datoj početnoj ili graničnoj tački, npr.

y(a)=\alpha \ ,

i

y'(a)=\beta \ .

gdje je $a\$ granična ili početna tačka.

Cauchyjevi granični uvjeti su generalizacija ovih vrsta uvjeta. Prisjetimo se pojednostavljenog oblika pisanja parcijalnih derivacija:

u_{x}={\partial u \over \partial x}\

u_{xy}={\partial ^{2}u \over \partial y\,\partial x}\

i definirajmo sada jednostavnu, parcijalnu diferencijalnu jednačinu drugog reda:

\psi _{xx}+\psi _{yy}=\psi (x,y)\

Imamo dvodimenzionalni domen, čija je granica linija, koja se može opisati sljedećim parametarskim jednačinama:

x=\xi (s)\

y=\eta (s)\

Odavde, na sličan način, kao i za obične diferencijalne jednačine drugog reda, moramo saznati vrijednost funkcije u granicama i njenu derivaciju normale kako bismo riješili parcijalnu diferencijalnu jednačinu, tj. obje jednačine,

\psi (s)\

,

kao i

{\frac {d\psi }{dn}}(s)=\mathbf {n} \cdot \nabla \psi \

određene su u svakoj tački granice domena date parcijalne diferencijalne jednačine, gdje je $\nabla \psi (s)\,$ gradijent funkcije.

Primjer

Definirajmo toplotnu jednačinu u dvosprostornim dimenzijama, kako slijedi

u_{t}=k\nabla ^{2}u\

gdje je $k\$ konstantna koja se zove toplotna provodljivost, koja je specifična za materijal.

Pretpostavimo i da je takva jednačina primijenjena u regiji $G\$ , koja predstavlja gornji poludisk centriran u ishodištu radijusa $a\$ . Pretpostavimo da je temperatura nula na zakrivljenom dijelu granice, dok je pravolinijski dio granice izoliran. Definiramo Cauchyjev granični uvjet kao

u=0\ \forall (x,y)\in r=a,0\leq \theta \leq \pi \

i

u_{y}=0,y=0\

Možemo koristit razdvajanje varijabli smatrajući funkciju sastavljenom od proizvoda prostornog i vremenskog dijela

u(x,y,t)=\phi (x,y)\psi (t)\

,

te, primjenjujući taj proizvod u originalnoj jednačini, dobijamo

\phi (x,y)\psi '(t)=k\phi ''(x,y)\psi (t)\

odakle slijedi

{\frac {\psi '(t)}{k\psi (t)}}={\frac {\phi ''(x,y)}{\phi (x,y)}}

Pošto lijeva strana zavisi samo od $t\$ , a desna samo od $(x,y)\$ , zaključujemo da bi obje strane trebale biti jednake za istu konstantu

{\frac {\psi '(t)}{k\psi (t)}}=-\lambda ={\frac {\phi ''(x,y)}{\phi (x,y)}}

To nas vodi do dviju jednačina: prva po prostornoj varijabli

\phi _{xx}+\phi _{yy}+\lambda \phi (x,y)=0\

,

a druga po $t\$ varijabli,

\psi '(t)+\lambda k\psi (t)=0\

Kad nametnemo granične uvjete, rješenje vremenske obične diferencijalne jednačine jeste

\psi (t)=Ae^{-\lambda kt}\

gdje je A konstanta koja bi se mogla definirati po početnim uvjetima. Prostorni dio može se riješiti ponovnim razdvajanjem varijabli, uvođenjem zamjene $\phi (x,y)=X(x)Y(y)\$ u parcijalnu diferencijalnu jednačinu i dijeljenjem sa $X(x)Y(y)\$ , iz koje dobijamo (nakon raspodjele i uređivanja članova)