Robinov granični uvjet

U matematici, Robinov granični uvjet (Granični uvjet treće vrste) jeste vrsta graničnog uslova, koji je dobio naziv po Victoru Gustaveu Robinu (čit. Robenu), koji je predavao matematičku fiziku na Sorbonnei u Parizu, te je radio u područjima termodinamike. Kad se nametne običnoj ili parcijalnoj diferencijalnoj jednačini, to je specifikacija linearne kombinacije vrijednosti funkcije i vrijednosti njene derivacije na granicama domena.

Robinovi granični uvjeti nazivaju se i impedancnim graničnim uvjetima, zbog njihove primjene u rješavanju elektromagnetnih problema.

Ako je $\Omega \,$ domen na kojem se zadana jednačina rješava, a $\partial \Omega$ označava njenu granica (topologija)granicu, Robinov granični uvjet jeste

$au+b{\frac {\partial u}{\partial n}}=g$ on $\partial \Omega \,$

za neke konstante $a\,$ i $b\,$ različite od nule, i za datu funkciju $g\,$ definiranu na $\partial \Omega .$ Ovdje, $u\,$ je nepoznato rješenje definirano na $\Omega ,\,$, a $\partial u/\partial n$ označava derivaciju normale na granicama. Općenitije, $a\,$ i $b\,$ mogu biti (zadane) funkcije umjesto da budu konstante.

U jednoj dimenziji, ako je, npr, $\Omega =[0,1],\,$ Robinov granični uvjet postaju uvjeti

$au(0)-bu'(0)=g(0)\,$

$au(1)+bu'(1)=g(1).\,$

(primijetite promjenu znaka ispred člana koji sadrži derivaciju; to je zbog toga što je normala na $[0,1]$ u $0$ usmjerena u negativnom smjeru, dok je u $1$ usmjerena u pozitivnom smjeru).

Robinovi granični uvjeti najčešće se koriste za rješavanje Sturm-Liouvilleovih problema, koji se pojavljuju u mnogim kontekstima u nauci i inženjerstvu.

Dodatno, Robinov granični uvjet je opća forma izolativnog graničnog uvjeta za konvekacijsko-difuzione jednačine. Ovdje, suma konvekacijskih i difuzionih protoka jednaka je nuli:

$-D{\frac {\partial c(0)}{\partial x}}+u_{x}(0)\,c(0)=0\,$

gdje je D difuziona konstanta, u je konvekacijska brzina u granici, a c je koncentracija. Prvi član je rezultat Fickovog zakona difuzije.

Također pogledajte

• Dirichletov granični uvjet
• Neumannov granični uvjet
• Miješani granični uvjet
• Cauchyjev granični uvjet

Reference

• Gustafson, K. i T. Abe, (1998a), (Victor) Gustave Robin: 1855–1897, The Mathematical Intelligencer, 20, 47-53.
• Gustafson, K. i T. Abe, (1998b), "The third boundary condition - was it Robin's?", The Mathematical Intelligencer, 20, 63-71.
• Eriksson, K. (2004). Applied mathematics, body and soul. Berlin; New York: Springer. ISBN 3540008896.

• Atkinson, Kendall E. (2001). Theoretical numerical analysis: a functional analysis framework. New York: Springer. ISBN 0387951423.

• Eriksson, K. (1996). Computational differential equations. Cambridge; New York: Cambridge University Press. ISBN 0521567386.

• Mei, Zhen (2000). Numerical bifurcation analysis for reaction-diffusion equations. Berlin; New York: Springer. ISBN 3540672966.