Uvjetna konvergencija

U matematici, red ili integral konvergira uslovno ako on konvergira, ali ne konvergira apsolutno.

Definicija

Preciznije, red $\scriptstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}$ konvergira uslovno ako $\scriptstyle \lim \limits _{m\rightarrow \infty }\,\sum \limits _{n=0}^{m}\,a_{n}$ postoji i ako je konačan broj (ne ∞ ili −∞), i ako je $\scriptstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|=\infty .$

Klasičan primjer ovakvog reda je

$1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\sum \limits _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n+1} \over n}$

koji konvergira u ln 2 , ali nije apsolutno konvergentan (pogledajte članak harmonijski red).

Najjednostavniji primjeri uslovno konvergentnih redova (uključujući i gornji primjer) su alternativni redovi.

Bernhard Riemann je dokazao da se uslovno konvergentni redovi mogu, preraspodjelom članova, dovesti u oblik u kojem konvergiraju u bilo koju sumu, uključujući ∞ ili −∞; pogledajte članak Riemannov teorem o redu.

Također pogledajte

• Apsolutna konvergencija
• Bezuslovna konvergencija

Reference

• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis (McGraw-Hill: New York, 1964).