Jednakostranični trougao

Jednakostraničan trougao je trougao u kojem su sve tri stranice jednake

malo

i sva tri ugla jednaka

.

Presjek težišnih duži (), presjek visina (), simetrala stranica (centar opisane kružnice ), simetrala uglova (centar upisane kružnice ) sijeku se u jednoj tački.

Težišne duži su međusobno jednake.

Visine su međusobno jednake.

Težišne duži su podudarne visinama. Također, težišne duži su podudarne simetralama uglova i stranica.

FormuleUredi

Veličine izražene preko stranice tougla

  1. površina  
  2. obim  
  3. poluprečnik opisane kružnice  
  4. poluprečnik upisane kružnice   ili  
  5. visina  .

Ove veličine možemo izraziti i preko visine

  1.  
  2.  
  3.  

VisinaUredi

Visinu je moguće izračunati pomoću jedne od dvije formule:

 ,

  

kada se racionališe i skrati dobija se

 .

Glavne osobineUredi

Neka je dat trougao   čije su stranice  , ,  poluobim  , poluprečnik opisane kružnice   i poluprečnik upisane kružnice   [1]

Trougao je jednakostraničan ako i samo ako je bilo koja od sljedečih izjava tačna.

Stranice

  •  
  •  
  •  
  •  

Poluobim

  •  
  •  
  •  
  •  

Uglovi

  •  .
  •  
  •  

Površina

  •  
  •  

Poluprečnik opisane i upisane kružnice

  •  
  •  
  •  
  •  

Jednake dužine Jednake dužine imaju težišnice, visine bisektrise.

 

 

Značajne tačke trougla Težište, ortocentar, centar opisanog i upisanog trougla se poklapaju.

Ovo su osobine koje su jedinstvene za jednakostraničan trougao.

Ostale osobineUredi

 [2]

Odnos površine kružnice upisane u jednakostranični trougao i površine trougla je

 

Odnos površine trougla i kvadrata njegovog obima

 

Ako su vrhovi       trougla   određeni su kompleksnim brojevima  ,  ,   respektivno, tada su sljedeća tvrđenja ekvivalentna:

  1.   je jednakostraničan trougao
  2.  
  3.  
  4.  
  5.   za  
  6.   za  
  7.  


Ako su  ),   i   vrhovi pozitivno orijentisanog trougla  , onda su sledeće tvrdnje ekvivalentne:

  1.   je jednakostraničan trougao;
  2.  , gde je  
  3.  , gde je  
  4.  

Za bilo koju tačku P u ravni trougla čije su udaljenosti  ,   i   od vrhova  ,  , i  , važi

 

Za bilo koju tačku   upisane kružnice jednakostraničnog trougla, sa udaljenostima  ,   i   od vrhova važi

 

Konstrukcija

Povučemo pravu Na njoj konstruišemo kružnicu čiji je prečnik jednak 2a. Presječna tačka kružnice i prave je centar druge kružnice prečnika 2a.

Dobijene tačke kao presjek te dvije kružnice i njihov presjek sa pravom su vrhovi trougla

II način

 

Povučemo pravu i konstruišemo kružnicu prečnika 2a čiji je centar na pravoj. presjek kružnice i prave je tačka koju uzmemo za centar kružnice istog prečnika.

Presjek te dvije kružnice su tačke čija udaljenost iznosi a. Sada lako dobijamo i treću tačku.

Izvođenje formule za površinuUredi

Formulu za površinu

  lako možemo izvesti pomoću Pitagorine teoreme itrigonometrije.

Pomoću Pitagorine teoremeUredi

 

 

 

 

Pomoću trigonometrijeUredi

 

 

 

U kulturi i društvuUredi

  • Arheološko nalazište Lepenski Vir u Srbiji, iz doba neolita, sadrži ostatke staništa koja u svojoj osnovi imaju jednakostranični trougao.
  • Davidova zvijezda, simbol jevrejskog naroda, sastoji se od dva obrnuta jednakostranična trougla. Uz ove trouglove se povezuju i izvjesna religiozna značenja.
  • Mistični simbol Pitagorejaca, tetraktis, bio je oblika jednakostraničnog trougla.
  • Na zastavi Filipina
  • Oblik saobraćajnog znaka.

IzvorUredi

  1. Equilateral Triangle
  2. NEW PROOF OF EULER’S INRADIUS - CIRCUMRADIUS INEQUALITY
  3. Another Proof of the Erdos-Mordell Theorem
  4. Equilateral Triangles and Kiepert Perspectorsin Complex Numbers
  5. Non-Euclidean Versions of Some Classical Triangle Inequalities
  6. AN ELEMENTARY PROOF OF BLUNDON’S INEQUALITY
  7. Primene kompleksnih brojeva u geometriji 07.12.2011[mrtav link]

ReferenceUredi