Mnogougao

Neka imamo niz A₁ , A₂, A₃ , ..., A_n (n različitih tačaka) tako da su svake tri uzastopne tačke nekolinearne. Ako svaku tačku tog niza spojimo sa sljedećom dobićemo niz duži A, A₂, A₂, A₃, ..., A_(n-1) A_n. Uniju ovih duži nazivamo otvorena izlomljena linija određenom nizom tačaka A₁, A₂, A₃ , ..., A_n koje zovemo vrhovi izlomljene linije.

Ako spojimo tačke A₁ i A_n i gornjem nizu dodamo duž A₁ i A_n onda uniju duži A₁, A₂, A₂, A₃, ..., A_(n-1) A_n i A₁ zovemo zatvorena izlomljena linija sa istim vrhovima. Duži navedenog niza zovemo stranice izlomljene linije. Otvorenu i zatvorenu izlomljenu liniju navedenog niza označavamo sa A₁, A₂, A₃, ..., A_n i A₁ i A_n. Prvu i posljednju tačku otvorene izlomljene linije nazivamo njenim krajevima.

Pošto po definiciji svake tri susjedne tačke nisu kolinearne to i susjedne duži ne leže na jednoj pravoj. Kako su vrhovi različite to je kod zatvorene izlomljene linije svaki vrh zajednički kraj dviju i samo dviju stranica. Kod otvorene linije prva i zadnja tačka su različite, one su krajevi samo jedne stranice.

Zatvorena linija ima isti broj stranica i vrhova, a otvorena ima jednu stranicu manje.

Definicija

Mnogougao je geometrijska figura u ravni ograničena zatvorenom izlomljenom linijom. Ima najmanje tri stranice i isto toliko uglova.

Mnogougao može biti

1. konveksni
2. nekonveksni (konkavni) i

1. pravilni
2. nepravilni

Vrste izlomljene linije

Za izlomljenu liniju kažemo da je prosta ako nesusjedne stranice nemaju zajedničkih tačaka.

Izlomljene linije su ravne ako su svi njeni vrhovi u jednoj ravni.

Trougaona linija je uvijek ravna.

Posmatraćemo samo ravne i proste izlomljene linije.

Definicija

Za zatvorenu izlomljenu liniju kažemo da je ispupčena (konveksna) ako je ona cijela u jednoj poluravni na koje prava koja prolazi kroz bilo koja dva susjedna vrha dijeli ravan.

Ako se izlomljena linija nalazi sa obje strane bar jedne prave koja prolazi kroz dva susjedna vrha onda je izlomljena linija udubljena ( konkavna)

Definicija

Onu poluravan kojoj je ivica prava koja prolazi kroz bilo koja dva susjedna vrha konveksne poligonalne linije u kojoj se nalazi ta linija zove se ravan te poligonalne linije.

Konveksni (ispupčeni) mnogougao omeđen datom izlomljenom linijom je presjek svih poluravni te linije.

Izlomljenu liniju kojom je omeđen taj mnogougao nazivamo rubom tog mnogougla.

Trougao je specijalan slučaj mnogougla. Nazivi mnogougla dolaze od broja stranica trougao, četverougao, petougao...

Kao i kod trougla definiše se unutrašnja i vanjska oblast mnogougla.

Pravilni mnogougao je onaj kojem su sve stranice jednake dužine i svi uglovi jednaki.

Nepravilni mnogougao je onaj koji ima nejednake stranice i uglove.

Formule

– n – broj stranica = broj unutrašnjih uglova = broj vrhova mnogougla

zbir unutrašnjih uglova	$S_{u}=(n-2)*180^{o}$
zbir spoljašnjih uglova	$S_{s}=360^{o}$
ukupan broj dijagonala	$S_{D}={\frac {n(n-3)}{2}}$
broj dijagonala iz jednog vrha	$S_{d}=(n-3)$

Površina

Površina prostog mnogouglova je

$P={\frac {1}{2}}\left|\sum _{i=1}^{n}(x_{i}y_{(i+_{n}1)}-x_{(i+_{n}1)}y_{i})\right|={\frac {1}{2}}\left|\sum _{i=1}^{n-1}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})+\left(x_{n}y_{1}-x_{1}y_{n}\right)\right|$

Pravilni mnogougao

Mnogougao je pravilni ako su mu sve stranice jednake dužine i svi uglovi jednaki. Za svaki pravilni mnogougao sa n stranica važi sledeće:

• to je osnosimetrična figura sa n osa simetrije
• ako je broj stranica paran, onda je on centralno simetričan
• u njega se može upisati kružnica
• oko njega se može opisati kružnica
• centar opisane i centar upisane kružnice se poklapaju
• svi unutrašnji uglovi su jednaki i iznose

$\alpha ={\frac {S_{u}}{n}}={\frac {180^{o}(n-2)}{n}}$

• svi spoljašnji uglovi su jednaki i iznose

$\beta ={\frac {360^{o}}{n}}$

• zbir unutrašnjeg i spoljašnjeg ugla

$\alpha +\beta =180^{o}$

• centralni ugao je

$\varphi ={\frac {360^{o}}{n}}$

• površina je:

$P=nP_{1}$ gdje je $P_{1}={\frac {ah}{2}}$ površina karakterističnog trougla mnogougla

• Obim je:

$O=na$, gde je $a$ dužina stranice.

• 

  Pravilni trougao

• 

  Pravilni četvorougao

• 

  Pravilni petougao

Jednakostranični trougao je pravilni mnogougao (trougao) kod kojeg su sve stranice jednake i svi uglovi $\alpha =60^{o}$.

Kvadrat je pravilni mnogougao (četverougao)kod kojeg su sve stranice jednake i svi uglovi $\alpha =90^{o}$.

Pravilni petougao je pravilni mnogougao kod kojeg su sve stranice jednake i svi uglovi $\alpha =108^{o}$

Stalni poligoni

Stalni poligoni

Poligon	Strana $a$	Ugao $\alpha$	Obim $u$	Površina $A$
Trougao	$a=r\cdot {\sqrt {3}}$	$120^{\circ }$	$u=r\cdot 3\cdot {\sqrt {3}}$	$A=r^{2}\cdot {\frac {3\cdot {\sqrt {3}}}{4}}$
Kvadrat	$a=r\cdot {\sqrt {2}}$	$90^{\circ }$	$u=r\cdot 2\cdot {\sqrt {2}}$	$A=r^{2}\cdot 2$
Petougao	$a=r\cdot {\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}$	$72^{\circ }$	$u=r\cdot 5\cdot {\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}$	$A=r^{2}\cdot {\frac {5}{8}}\cdot {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}$
Šestougao	$a=r$	$60^{\circ }$	$u\approx r\cdot 6$	$A={\frac {3}{2}}r^{2}{\sqrt {3}}$
Sedmougao	$a\approx r\cdot 0{,}867767$	$51{\frac {3}{7}}^{\circ }$	$u\approx r\cdot 6{,}074372$	$A\approx r^{2}\cdot 2{,}736410$
Osmougao	$a=r\cdot {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}$	$45^{\circ }$	$u=r\cdot 8\cdot {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}$ $u\approx r\cdot 6{,}122935$	$A=r^{2}\cdot 2\cdot {\sqrt {2}}$ $A\approx r^{2}\cdot 2{,}828427$
Devetougao	$a\approx r\cdot 0{,}68404029$	$40^{\circ }$	$u\approx r\cdot 6{,}15636258$
Desetougao	$a=r\cdot {\frac {1}{2}}\left({\sqrt {5}}-1\right)$ $a\approx r\cdot 0{,}618034$	$36^{\circ }$	$u=r\cdot 5\cdot \left({\sqrt {5}}-1\right)$ $a\approx r\cdot 6{,}180340$	$A=r^{2}\cdot {\frac {5}{4}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}$
$n$-ugao	$a=2\cdot r\cdot \sin {\frac {180^{\circ }}{n}}$	${\frac {360^{\circ }}{n}}$	$u=2\cdot n\cdot r\cdot \sin {\frac {180^{\circ }}{n}}$
Limit $n\to \infty$ (Krug)	$\to 0$	$\to 0$	$u=r\cdot 2\cdot \pi$	$A=r^{2}\cdot \pi$

Računarska grafika

Poligon je veoma često korištena riječ u kompjuterskoj grafici, a odnosi se na površinu ograničenu sa najmanje tri tačke (engl. vertices). Kada ih spojimo dobićemo trougao koji je najjednostavniji poligon. Prave linije koje spajaju vertices poligona (tačke na uglovima poligona) se nazivaju ivice ili stranice poligona. Ivice poligona nemaju zajdničkih tačaka, osim tačaka spajanja na uglovima poligona. Ova definicija se odnosi na standardni poligon, koji je nazvan još i jednostavni poligon ili u kompjuterskoj grafici samo poligon. Poligon ne mora biti samo trougao, može se sastojati od konačnog boja linija (ivica), a ime mu se daje prema broju uglova koje posjeduje. Sa poligonima je lahko simulirati površinu nekog objekta, a skup poligona naziva se mreža poligona.

Poligone možemo osim po broju uglova podijeliti u dvije skupine bitne za računarsku grafiku. U zavisnosti od grupe kojoj pripada poligon moramo ili ne moramo dodatno procesuirati:

• Konveksni poligon (engl. Convex polygon)
• Konkavni poligon (engl. Concave polygon)

Vanjski linkovi

• Mnogougao