Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljen izvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe pouzdanim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti izbrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
U matematici , Vièteova formula , koja nosi svoje ime po francuskom matematičaru François Vièteu (1540-1603), je reprezentacija matematičke konstante π u obliku beskonačnog proizvoda :
2
π
=
2
2
⋅
2
+
2
2
⋅
2
+
2
+
2
2
⋯
{\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots }
Izraz sa desne strane jednakosti treba tumačiti kao graničnu vrijednost
lim
n
→
∞
∏
i
=
1
n
a
i
2
=
2
π
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\prod _{i=1}^{n}{a_{i} \over 2}={\frac {2}{\pi }}}
gdje je
a
n
=
2
+
a
n
−
1
{\displaystyle a_{n}={\sqrt {2+a_{n-1}}}}
a
1
=
2
{\displaystyle a_{1}={\sqrt {2}}}
Poslije sređivanja moguće je dobiti formulu za π u obliku
lim
n
→
∞
2
n
+
1
2
−
2
+
2
+
2
+
⋯
+
2
⏟
n
=
π
{\displaystyle \lim _{\mathbf {n} \to \infty }2^{\mathbf {n} +1}{\sqrt {2-\underbrace {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots +{\sqrt {2}}}}}}}} _{\mathbf {n} }}}\;=\;\pi }
Korištenjem formule za sinus dvostrukog ugla
sin
2
x
=
2
sin
x
⋅
cos
x
{\displaystyle \,\sin 2x=2\sin x\cdot \cos x}
najprije treba dokazati jednakost
sin
(
2
n
x
)
2
n
sin
x
=
∏
i
=
0
n
−
1
cos
(
2
i
x
)
{\displaystyle {{\sin(2^{n}x)} \over {2^{n}\sin x}}=\prod _{i=0}^{n-1}\cos(2^{i}x)}
koja važi za sve pozitivne cijele brojeve n . Ako se uzme da je x=y/2n i ako se obe strane jednakosti podijele sa cos(y /2), biće
sin
y
cos
(
y
2
)
⋅
1
2
n
sin
(
y
2
n
)
=
∏
i
=
1
n
−
1
cos
(
y
2
i
+
1
)
.
{\displaystyle {{\sin y} \over {\cos({y \over 2})}}\cdot {1 \over {2^{n}\sin({y \over {2^{n}}})}}=\prod _{i=1}^{n-1}\cos \left({y \over {2^{i+1}}}\right).}
Ponovnom upotrebom formule za sinus dvostrukog ugla sin y =2sin(y /2)cos(y /2) dobija se
2
sin
(
y
2
)
2
n
sin
(
y
2
n
)
=
∏
i
=
1
n
−
1
cos
(
y
2
i
+
1
)
.
{\displaystyle {{2\sin({y \over 2})} \over {2^{n}\sin({y \over {2^{n}}})}}=\prod _{i=1}^{n-1}\cos \left({y \over {2^{i+1}}}\right).}
Ako zamijenimo y sa π, dobijamo jednakost
2
2
n
sin
(
π
2
n
)
=
∏
i
=
2
n
cos
(
π
2
i
)
.
{\displaystyle {2 \over {2^{n}\sin({\pi \over {2^{n}}})}}=\prod _{i=2}^{n}\cos \left({\pi \over {2^{i}}}\right)\ .}
Ostaje da se faktori sa desne strane ove jednakosti povežu sa odgovarajućim an . Ako se sada upotrijebi formula za kosinus polovine ugla,
2
cos
(
x
/
2
)
=
2
+
2
cos
x
,
{\displaystyle 2\cos(x/2)={\sqrt {2+2\cos x}},}
dobija se da
b
i
=
2
cos
(
π
2
i
+
1
)
{\displaystyle b_{i}=2\cos \left({\pi \over {2^{i+1}}}\right)}
rekurzivnu vezu
b
i
+
1
=
2
+
b
i
{\displaystyle \,b_{i+1}={\sqrt {2+b_{i}}}}
b
1
=
2
cos
(
π
4
)
=
2
=
a
1
{\displaystyle b_{1}=2\cos \left({\pi \over 4}\right)={\sqrt {2}}=a_{1}}
an =bn za sve pozitivne cijele brojeve n .
Vièteova formula se zatim dobija kad se uzme da
n
→
∞
{\displaystyle n\rightarrow \infty }
lim
n
→
∞
2
2
n
sin
(
π
2
n
)
=
2
π
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{2 \over {2^{n}\sin({\pi \over {2^{n}}})}}={2 \over \pi }}
kao posljedica činjenice da je
lim
x
→
0
x
sin
x
=
1
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}\,{x \over {\sin x}}=1}
l'Hôpitalovom pravilu ).
Vanjski linkovi
uredi
