Kvadratna funkcija

U matematici, kvadratna funkcija je polinomalna funkcija oblika $f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!$, gdje je $a\neq 0\,\!$. Grafik kvadratne funkcije je parabola čija je glavna osa paralelna sa y-osom.

$f(x)=x^{2}-x-2\,\!$

Izraz $ax^{2}+bx+c$ u definiciji kvadratne funkcije je polinom stepena 2 ili polinom drugog stepena, zato što je najveći stepen od $x$ broj 2.

Ako se za kvadratnu funkciju kaže da je jednaka nuli, tada je rezultat kvadratna jednačina. Rješenja ove jednačine nazivaju se korijeni jednačine ili nule funkcije.

Korijeni

Glavni članak: Kvadratna jednačina

Dva korijena kvadratne jednačine $0=ax^{2}+bx+c\,\!$, gdje je $a\neq 0\,\!$, su:

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$

Ova formula naziva se kvadratna formula.

• Neka je $\Delta =b^{2}-4ac\,$
• Ako je $\Delta >0\,\!$, tada postoje dva različita korijena, pošto je ${\sqrt {\Delta }}$ pozitivan realna broj.
• Ako je $\Delta =0\,\!$, tada su dva korijena jednaka, pošto je ${\sqrt {\Delta }}$ nula.
• Ako je $\Delta <0\,\!$, tada su dva korijena konjugovano kompleksni brojevi, pošto je ${\sqrt {\Delta }}$ imaginarno.

Ako imamo da je $r_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ i $r_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ (ili obrnuto), $ax^{2}+bx+c\,\!$ se može napisati kao $a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!$.

Grafik

$f(x)=ax^{2},\!$$a=\{0.1,0.3,1,3\}\!$

$f(x)=x^{2}+bx,\!$ $b=\{1,2,3,4\}\!$

$f(x)=x^{2}+bx,\!$ $b=\{-1,-2,-3,-4\}\!$

Bez obzira na oblik, grafik kvadratne funkcije je parabola (kao što je prethodno pokazano).

• Ako je $a>0\,\!$, parabola je otvorena prema gore.
• Ako je $a<0\,\!$, parabola je otvorena prema dole.

Koeficijent a kontroliše brzinu rasta (ili opadanja) kvadratne funkcije iz tjemena, veći pozitivan broj a čini da funkcija raste brže, te se grafik čini više zatzvorenim.

Koeficijenti b i a zajedno kontrolišu osu simetrije parabole (također i x-koordinatu tjemena parabole).

Koeficijent b je strmost parabole kada ona presjeca y-osu.

Koeficijent c kontroliše visinu parabole, specifičnije, to je tačka gdje parabola presjeca y-osu.

Presjek sa x–osom

Presjeci grafika sa x-osom su isti kao i korijeni kvadratne funkcije (pogledajte iznad).

Tjeme

Tjeme (ili vrh) parabole je mjesto gdje se ona previja, pa se zbog toga naziva i tačka prevoja. Ako je kvadratna funkcija u svom standardnom obliku, tjeme je $(h,k)\,\!$. Metodom potpunog kvadrata, može se opći oblik: $f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!$ pretvoirti u

$f(x)=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}},$

tako da će tjeme parabole u općem obliku biti

$\left(-{\frac {b}{2a}},-{\frac {\Delta }{4a}}\right).$

Ako je kvadratna funkcija u faktorskom obliku $f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!$

srednja vrijednost dva korijena

${\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}\,\!$

je x-koordinata tjemena, te je tjeme

$\left({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}},f({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}})\right).\!$

Tjeme je, također, tačka kasimuma, ako je $a<0\,\!$ ili tačka minumuma, ako je $a>0\,\!$.

Vertikalna linija

$x=h=-{\frac {b}{2a}}$

koja prolazi kroz tjeme se naziva osa simetrije parabole.

• Tačke maksimuma i minimuma

Maksimu ili minimum funkcije se uvijek dobijaju u tjemenu. Izjednačavanjem prve derivacije funkcije sa nulom, dobit ćemo koordinate tjemena. Prednost ovog metoda je ta da se može koristiti i za ostale funkcije.

Ako imamo funkciju $f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!$ koja je jednostavna kvadratna jednačina. Da bi našli njene tačke maksimuma ili minimuma (koje zavise od $a\,\!$, ako je $a>0\,\!$, onda ima tačke minimuma, a ako je < 0\,\!</math>, ima tačke maksimuma) moramo prvo naći njenu derivaciju:

$f(x)=ax^{2}+bx+c\Leftrightarrow \,\!$$f'(x)=2ax+b\,\!$

Tada, tražimo korijene od $f'(x)\,\!$:

$2ax+b=0\Rightarrow \,\!$ $2ax=-b\Rightarrow \,\!$ $x=-{\frac {b}{2a}}$

Dakle, $-{\frac {b}{2a}}$ je $x\,\!$ vrijednost od $f(x)\,\!$. Sada, da bi našli $y\,\!$ vrijednost, zamijenimo $x=-{\frac {b}{2a}}$ u $f(x)\,\!$:

$y=a\left(-{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+b\left(-{\frac {b}{2a}}\right)+c\Rightarrow y={\frac {ab^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {b^{2}}{2a}}+c\Rightarrow y={\frac {b^{2}}{4a}}-{\frac {b^{2}}{2a}}+c\Rightarrow$

$y={\frac {b^{2}-2b^{2}+4ac}{4a}}\Rightarrow y={\frac {-b^{2}+4ac}{4a}}\Rightarrow y=-{\frac {(b^{2}-4ac)}{4a}}\Rightarrow y=-{\frac {\Delta }{4a}}$

Odavde, tačke maksimuma ili minimuma su:

$\left(-{\frac {b}{2a}},-{\frac {\Delta }{4a}}\right).$

Također pogledajte

• Kvadratni oblik
• Kvadratni polinom
• Matrično predstavljanje presjeka konusa
• Kvadratik
• Periodične tačke kompleksnog kvadratnog preslikavanja
• Spisak matematičkih funkcija

Vanjski linkovi

• Eric W. Weisstein, Quadratic na MathWorld-u.