Kapilarna površina

U mehanici fluida i matematici, kapilarna površina je površina koja predstavlja vezu između dva različita fluida. Kao poljedica toga što je površina, kapilarna površina nema debljinu za (neznatnu) razliku od većine realnih fluidnih veza.

Kapilarna površina je u interesu matematike zato što su uključeni problemi veoma nelinearni i imaju interesantne osobine, kao što je prekidna zavisnost graničnih podataka u izolovanim tačkama.^[1] Detaljnije, statične kapilarne površine bez gravitacije imaju konstantnu srednju zakrivljenost, tako da je minimalna površina poseban slučaj statičke kapilarne površine.

Također, ovaj pojam je od posebnog značaja za upravljanje fluidima u svemiru (ili drugoj okolini bez zapreminskih sila), gdje i nad protokom i ma, statičkom konfiguracijom često preovladaju kapilarni efekti.

Jednačina ravnoteže napona

Jednačina koja definiše kapilarnu površinu naziva se jednačina ravnoteže napona, koja se može izvesti razmatranjem sila i napona koji djeluju na veoma mali volumen, koji je djelimično ograničen kapilarnom površinom.^[2] Za fluid koji se sastaje s drugim fluidom (veličine koje opisuju "drugi" fludi stavljene su u zagrade) na površini $S$ , jednačina glasi

(\sigma _{ij}-{\bar {\sigma }}_{ij})\mathbf {\hat {n}} =\gamma \mathbf {\hat {n}} (\nabla _{S}\cdot \mathbf {\hat {n}} )-\nabla _{S}\gamma \qquad ;\quad \nabla _{S}\gamma =\nabla \gamma -\mathbf {\hat {n}} (\mathbf {\hat {n}} \cdot \nabla \gamma )

gdje je:

$\scriptstyle \mathbf {\hat {n}}$ jedinična normala čiji smijer pokazuje prema "drugom" fluidu (čije su veličine stavljene u zagrade),
$\scriptstyle \sigma _{ij}$ je tenzor napona (uočite da je na lijevoj strani proizvod tenzor-vektora),
$\scriptstyle \gamma$ je površinski napon vezan za vezu,
$\scriptstyle \nabla _{S}$ je površinski gradijent.

Uočite da je veličina $\scriptstyle \nabla \cdot \mathbf {\hat {n}}$ je dva puta srednja zakrivljenost površine.

U mehanici fluida, ova jednačina služi kao granični uslov za interfacijalne tokove, najčešće kao dopuna Navier–Stokesovim jednačinama. Ona opisuje prekidnost u naponu koji se uravnotežuje silama na površini. Kao granični uslov, neobična je po tome što u razmatranje uvodi novu varijablu: površinu $S$ koja definiše vezu. Nije iznenađujuće da tada jednačina ravnoteže napona normalno mandatira svoje vlastite granične uslove.

Za najbolju upotrebu, ova vektorska jednačina normalno se pretvori u tri skaladne jednačine preko skalarnog proizvoda vektora sa jediničnom normalom i dvije izabrane jedinične tangnente:

((\sigma _{ij}-{\bar {\sigma }}_{ij})\mathbf {\hat {n}} )\cdot \mathbf {\hat {n}} =\gamma \nabla \cdot \mathbf {\hat {n}}

((\sigma _{ij}-{\bar {\sigma }}_{ij})\mathbf {\hat {n}} )\cdot \mathbf {{\hat {t}}_{1}} =\nabla \gamma \cdot \mathbf {{\hat {t}}_{1}}

((\sigma _{ij}-{\bar {\sigma }}_{ij})\mathbf {\hat {n}} )\cdot \mathbf {{\hat {t}}_{2}} =\nabla \gamma \cdot \mathbf {{\hat {t}}_{2}}

Uočite da su proizvodi koji nemaju tačku (kao što ima skalarni proizvod vektora) tenzorski proizvodi tenzor-vektora (čiji je rezultat vektor, slično matričnom vektorskom proizvodu), dok su oni sa tačkom skalarni proizvodi vektora. Prva jednačina naziva se jednačina normalnog napona, ili granični uslov normalnog napona. Druge dvije jednačine nazivaju se jednačine tangencijalnog napona.

Tenzor napona

Tenzor napona je povezan sa brzinom i pritiskom. Njegov pravi oblik zavisit će od specifičnog fluida sa kojim se radi, a za uobičajni slučaj nestišljivog Newtonskog toka, tenzor napona dat je sa

{\begin{aligned}\sigma _{ij}&=-{\begin{pmatrix}p&0&0\\0&p&0\\0&0&p\end{pmatrix}}+\mu {\begin{pmatrix}2{\frac {\partial u}{\partial x}}&{\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}&{\frac {\partial u}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial x}}\\{\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}&2{\frac {\partial v}{\partial y}}&{\frac {\partial v}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial y}}\\{\frac {\partial w}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial z}}&{\frac {\partial w}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial z}}&2{\frac {\partial w}{\partial z}}\end{pmatrix}}\\&=-pI+\mu (\nabla \mathbf {v} +(\nabla \mathbf {v} )^{T})\end{aligned}}

gdje je:

$p$ pritisak u fluidu,
$\scriptstyle \mathbf {v}$ je brzina, i
$\mu$ je viskoznost.

Statična veza

U odsustvu kretanja, tenzori napona daju samo hidrostatički pritisak tako da je $\scriptstyle \sigma _{ij}=-pI$ , bez obzira na vrstu fluida ili stišljivost. Razmatrajući normalne i tangencijalne jednačine,

{\bar {p}}-p=\gamma \nabla \cdot \mathbf {\hat {n}}

0=\nabla \gamma \cdot \mathbf {\hat {t}}

Prva jednačina iskazuje da su sile zakrivljenosti uravnotežene silama pritiska. Druga jednačina pokazuje da statička veza ne može postojati dok postoji granijent površinskog napona, koji je različit od nule.

Ako je gravitacija jedina prisutna zapreminska sila, Navier–Stokesove jednačine značajno pojednostavljuju:

0=-\nabla p+\rho \mathbf {g}

Ako su koordinate izabrane tako da je gravitacija različita od nule samo u $z$ pravcu, ova jednačina svodi se na prilično jednostavan oblik:

{\frac {dp}{dz}}=\rho g\quad \Rightarrow \quad p=\rho gz+p_{0}

gdje je $p_{0}$ integraciona konstanta koja predstavlja neki referentni pritisak u $z=0$ . Zamjenom u jednačinu normalnog napona dobijamo nešto što se naziva Young-Laplaceova jednačina:

{\bar {\rho }}gz+{\bar {p}}_{0}-(\rho gz+p_{0})=\gamma \nabla \cdot \mathbf {\hat {n}} \quad \Rightarrow \quad \Delta \rho gz+\Delta p=\gamma \nabla \cdot \mathbf {\hat {n}}

gdje je:

$\Delta p$ (konstantna) razlika pritisaka širom veze, i
$\Delta \rho$ je razlika u gustoći.

Uočite, pošto ova jednačina definiše površinu, da je $z$ , ustvari, $z$ koordinata kapilarne površine. Ova nelinearna parcijalna diferencijalna jednačina, uz odgovarajuće granične uslove, definiše statičnu vezu.

Razlika pritiska iznad je konstanta, ali njena vrijednost će se promijeniti ako se $z$ koordinata promijeni. Linearno rješenje do pritiska pokazuje da, ukoliko ne postoji član gravitacije, uvijek je moguće definisati $z$ koordinatu, tako da je $\Delta p=0$ . Nedimanezionalisana, Young-Laplaceova jednačina se obično proučava u obliku ^[1]

\kappa z+\lambda =\nabla \cdot \mathbf {\hat {n}}

gdje je (ako je gravitacija u negativnom $z$ smijeru) $\kappa$ je pozitivna ako je gušći fluid "unutar" veze, negativna, ako je "vani", te nula, ako ne postoji gravitacija ili ako nema razlike u gustoći između dva fluida.

Ova nelinearna jednačina ima mnogo osobina, posebno u vidu postojanjajedinstvenih rješenja. Na primjer, nepostojanje rješenja za neki problem granične vrijednosti implicira da, fizički, problem ne može biti statički. Ako rješenje postoji, normalno će postojati za vrlo specifične vrijednosti $\lambda$ , koje je predstavnik skoka pritiska širom veze. to je interesantno jer ne postoji druga fizikalna jednačina za utvrđivanje razlike pritiska. U kapilarnoj cjevčici, na primjer, uvođenjem dodirnog ugla, kao uslova, dobit ćemo jedinstveno rješenje za tačno jednu vrijednost od $\lambda$ . rješenja često nisu jedinstvena, što implicira da postoje moguće višestruke statičke veze; dok one sve mogu riješiti isti problem granične vrijednosti, minimizacija energije će ići u koristi jedne. Različita rješenja nazivaju se konfiguracije veze.

Također pogledajte

Reference

^ ^a ^b Robert Finn (1999). "Capillary Surface Interfaces" (PDF). American Mathematical Society. journal zahtijeva |journal= (pomoć)
^ Surface Tension Module Arhivirano 27. 10. 2007. na Wayback Machine, by John W. M. Bush, at MIT OCW

[Finn-1] Robert Finn (1999). "Capillary Surface Interfaces" (PDF). American Mathematical Society. journal zahtijeva |journal= (pomoć)

[2] Surface Tension Module Arhivirano 27. 10. 2007. na Wayback Machine, by John W. M. Bush, at MIT OCW

[1]

[2]