Izračunavanje suma

U matematici, red je suma elemenata niza. Ovaj članak spominje nekoliko uobičajnih redova, te način izračunavanja njihove vrjednosti (ili dokazuje da oni ne konvergiraju).

Aritmetički red

Prototip aritmetičkog reda je

$\sum _{i=1}^{n}i,$,

suma prvih n prirodnih brojeva, za svaki prirodan broj n. Pošto je konačan, red konvergira, a njegova vrijednost se određuje korištenjem sljedeće tehnike. Možemo napisati sumu tako da članove "odbrojavamo unazad" umjesto da ih brojimo od prvog člana pa dalje; to jest, ako je gornji red S, tada je

$S=\sum _{i=1}^{n}(n-i+1)$

Ako sada saberemo oba izraza imamo

$2S=S+S=\sum _{i=1}^{n}[i+(n-i+1)]=\sum _{i=1}^{n}(n+1)=n(n+1).$

Tako smo dobili osnovni identitet

$\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}.$

(Kako bi bili apsolutno tačni, ako uzmemo da je 2 = 0, ova formul nema smisla; međutim, u tom slučaju suma se lahko može izračunati "inspekcijom" pošto se članovi nalaze između 0 i 1).

Ostali aritmetički redovi mogu se izračunati korištenjem ovog proračuna kao osnove. Za bilo koja dva data broja a, d (koji mogu biti integralni, realni, kompleksni, ili, u stvari, članovi bilo koje Aabelove grupe, možemo definisati aritmetičku progresiju sa početnim članom a i razlikom između članova d, čiji je opći član

$a_{n}\,=\,a+(n-1)d.$

Za fiksan cijeli broj n, može napraviti aritmetički red

$\sum _{i=1}^{n}a_{i},$,

sumu prvih n članova ove progresije. Ako zamijenimo definiciju a_i i iskoristimo linearnost sume, račun se svodi na onaj koji smo prethodno odradili:

$\sum _{i=1}^{n}[a+(i-1)d]=na-nd+d\sum _{i=1}^{n}i=na-nd+d{\frac {n(n+1)}{2}}.$

Ovo se pojednostavljuje (koristeći definiciju od a_n) u

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}=n{\frac {a_{1}+a_{n}}{2}},$,

srednju vrijednost prvog i zadnjeg člana pomnoženu sa brojem članova.

Geometrijski red

Geometrijski red, kao i aritmetički red, može se definisati za svake brojeve (cijele, realne, kompleksne ili druge) a i r. Zbog pravila o stepenovanju ovi redovi teže da budu indeksovani od nule; a je početni član, a r je odnos (količnik) između susjednih članova. Tada red glasi

$\sum _{i=0}^{n}ar^{i}.$

Kako bi izračunali ovaj red (ponovo označeno sa S), koristimo trik štimanja članova koji će se međusobno poništiti: ako pomnožimo red sa r i oduzmemo ga od početnog, dobijamo

$S-rS=(1-r)S=\sum _{i=0}^{n}ar^{i}-\sum _{i=0}^{n}ar^{i+1}=a(\sum _{i=0}^{n}r^{i}-\sum _{i=1}^{n+1}r^{i})=a(1-r^{n+1}).$

Tako dobijamo opći izraz

$S=a{\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}.$

(Ponovo, kako bi bili specifično precizni, moramo imati r različito od 1; u ovom slučaju, suma se jednostavno izračuna inspekcijom pošto je svaki stepen od i, također, jednak 1).

Ako (što je uobičajno) radimo sa realnim ili kompleksnim brojevima, te ako je $|r|<1$, tada možemo tražiti limes kada n teži u beskonačnost. Ovim dobijamo izraz

$\sum _{i=0}^{\infty }ar^{i}={\frac {a}{1-r}}.$

Naravno, desna strana je definisana za svaki broj r različit od 1, ali samo kada je za $|r|<1$ jednako lijevoj strani. U ostalim slučajevima, red divergira (pošto mu opći član ne teži nuli).

Veći stepeni

Ostale česte familije redova su one sa sumama članova sa stepenima:

$\sum _{i=1}^{n}i^{k}$

za pozitivne cijele brojeve k; aritmetički red imamo u slučaju da je k jednako 1. Ovo slikedi iz identiteta Bernoullijevih polinoma da se ove sume mogu izračunati pomoću izraza:

$\sum _{i=1}^{n}i^{k}={\frac {B_{k+1}(n+1)-B_{k+1}(1)}{k+1}}.$

Iako se ova oblast čini praznom, to nije slučaj, pošto su Bernoullijevi polinomi jako drobro istraženi i njihovi koeficijenti, koji imaju veze sa Bernoullijevim brojevima, se veoma lahko izračunavaju.

Primjene Taylorovog reda

Taylorov red može se koristit da se pronađe suma određenih redova, koji nisu očiti na prvi pogled; po njihovoj prirodi, ovo su općenito beskonačni redovi. Postoji nekoliko dobro poznatih primjera:

• $\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{i!}}=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(1)^{i}}{i!}}=e$;
• $\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{i}}=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{i}}(1)^{i}=\ln {2}$

Ovo odmah ne važi; radijus konvergencije potencijalnog reda za $\ln(1+x)$ je samo 1, i zbog toga ova suma leži na granici. Kako bi pokazali da je vrijednost potencijalnog reda jednaka vrijednosti funkcije potrebna je dalja analiza.

• $\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{2i+1}}=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{2i+1}}(1)^{2i+1}=\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}$.

Koristeći binomni teorem, koji je veoma poseban slučaj Taylor ovog reda (ako jedinice) za funkciju $f(x)=(1+x)^{r}$ za proizvoljne pozitivne realne brojeve r, možemo, također, dobiti

$\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{n \choose i}=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}(-1)^{i}(1)^{n-i}=(1-1)^{n}=0.$

Također pogledajte

• Aritmetički red
• Geometrijski red
• Taylorov red
• Bernoullijev broj