Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljen izvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe pouzdanim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti izbrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
U elementarnoj algebri , binomni teorem opisuje koeficijente stepena binoma kada je on predstavljen u razvijenoj formi. Njegov najjednostavniji oblik kaže da je
( x + y ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x n − k y k ( 1 ) {\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}\quad \quad \quad (1)} za bilo koje realne ili kompleksne brojeve x i y , te bilo koji nenegativan cijeli broj n . Binomni koeficijent , koji se pojavljuje u (1), može se definisati preko funkcije faktorijela n !:
( n k ) = n ! k ! ( n − k ) ! . {\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}.} Na primjer, pred nama su slučaji kada je 2 ≤ n ≤ 5:
( x + y ) 2 = x 2 + 2 x y + y 2 {\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}\,} ( x + y ) 3 = x 3 + 3 x 2 y + 3 x y 2 + y 3 {\displaystyle (x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}\,} ( x + y ) 4 = x 4 + 4 x 3 y + 6 x 2 y 2 + 4 x y 3 + y 4 {\displaystyle (x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}\,} ( x + y ) 5 = x 5 + 5 x 4 y + 10 x 3 y 2 + 10 x 2 y 3 + 5 x y 4 + y 5 . {\displaystyle (x+y)^{5}=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5}.\,} "Binomni tip"
uredi
Binomni teorem može se iskazati tako što ćemo reći da je polinomni niz
{ x k : k = 0 , 1 , 2 , … } {\displaystyle \left\{\,x^{k}:k=0,1,2,\dots \,\right\}\,} iz binomnog tipa .
Jedan način da dokažemo binomni teorem (1) je pomoću matematičke indukcije . Kada je n = 0, imamo da je
( a + b ) 0 = 1 = ∑ k = 0 0 ( 0 k ) a 0 − k b k . {\displaystyle (a+b)^{0}=1=\sum _{k=0}^{0}{0 \choose k}a^{0-k}b^{k}.} Sada pretostavimo da teorem važi i kada je eksponent m . Tada, za n = m + 1
( a + b ) m + 1 = a ( a + b ) m + b ( a + b ) m {\displaystyle (a+b)^{m+1}=a(a+b)^{m}+b(a+b)^{m}\,} = a ∑ k = 0 m ( m k ) a m − k b k + b ∑ j = 0 m ( m j ) a m − j b j {\displaystyle =a\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}a^{m-k}b^{k}+b\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j}} po hipotezi indukcije
= ∑ k = 0 m ( m k ) a m − k + 1 b k + ∑ j = 0 m ( m j ) a m − j b j + 1 {\displaystyle =\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j+1}} množeći sa a i b dobijamo
= a m + 1 + ∑ k = 1 m ( m k ) a m − k + 1 b k + ∑ j = 0 m ( m j ) a m − j b j + 1 {\displaystyle =a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j+1}} izvlačimo član k = 0
= a m + 1 + ∑ k = 1 m ( m k ) a m − k + 1 b k + ∑ k = 1 m + 1 ( m k − 1 ) a m − k + 1 b k {\displaystyle =a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{k=1}^{m+1}{m \choose k-1}a^{m-k+1}b^{k}} i kažemo da je j = k − 1
= a m + 1 + ∑ k = 1 m ( m k ) a m − k + 1 b k + ∑ k = 1 m ( m k − 1 ) a m + 1 − k b k + b m + 1 {\displaystyle =a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k-1}a^{m+1-k}b^{k}+b^{m+1}} izvlačimo član k = m + 1 sa desne strane
= a m + 1 + b m + 1 + ∑ k = 1 m [ ( m k ) + ( m k − 1 ) ] a m + 1 − k b k {\displaystyle =a^{m+1}+b^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}\left[{m \choose k}+{m \choose k-1}\right]a^{m+1-k}b^{k}} te kombinujemo dobijene sume
= a m + 1 + b m + 1 + ∑ k = 1 m ( m + 1 k ) a m + 1 − k b k {\displaystyle =a^{m+1}+b^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m+1 \choose k}a^{m+1-k}b^{k}} iz Pascalovog pravila imamo da je
= ∑ k = 0 m + 1 ( m + 1 k ) a m + 1 − k b k {\displaystyle =\sum _{k=0}^{m+1}{m+1 \choose k}a^{m+1-k}b^{k}} dodajemo u m + 1 članova.
Binomni broj
uredi
Binomni broj je broj u obliku x n ± y n {\displaystyle \scriptstyle x^{n}\,\pm \,y^{n}} n najmanje 2). Kada je znak ili ako je n neparan broj, tada se binomni brojevi kogu rastaviti na faktore algebarski:
x n ± y n = ( x ± y ) ( x n − 1 ∓ x n − 2 y + ⋯ ∓ x y n − 2 + y n − 1 ) . {\displaystyle x^{n}\pm y^{n}=(x\pm y)(x^{n-1}\mp x^{n-2}y+\cdots \mp xy^{n-2}+y^{n-1}).\,} Primjeri:
x 2 − y 2 = ( x − y ) ( x + y ) {\displaystyle x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)\,} x 3 − y 3 = ( x − y ) ( x 2 + x y + y 2 ) {\displaystyle x^{3}-y^{3}=(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})\,} x 3 + y 3 = ( x + y ) ( x 2 − x y + y 2 ) {\displaystyle x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})\,} x 8 − y 8 = ( x − y ) ( x + y ) ( x 2 + y 2 ) ( x 4 + y 4 ) {\displaystyle x^{8}-y^{8}=(x-y)(x+y)(x^{2}+y^{2})(x^{4}+y^{4})\,} Da bi razložili x n − y n {\displaystyle \scriptstyle x^{n}\,-\,y^{n}}
x n − y n = ( x − y ) ( ∑ k = 0 n − 1 x k y n − 1 − k ) . {\displaystyle x^{n}-y^{n}=(x-y)\left(\sum _{k=0}^{n-1}x^{k}y^{n-1-k}\right).} Također pogledajte
uredi
Zabilješke
uredi
Amulya Kumar Bag. Binomial Theorem in Ancient India. Indian J.History Sci.,1:68-74,1966. Vanjski linkovi
uredi
![{\displaystyle =a^{m+1}+b^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}\left[{m \choose k}+{m \choose k-1}\right]a^{m+1-k}b^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e618a93bfc846cc18c367d38d3425feb259cb85)
