Faktorijel

Faktorijel je matematička funkcija kojom se izračunava proizvod prirodnih brojeva od 1 do nekog određenog prirodnog broja n, označeno kao n!.[1] Ova funkcija se koristi u statistici, kao i u zakonima vjerovatnoće, te u kombinatorici.

0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5.040
8 40.320
9 362.880
10 3.628.800
11 39.916.800
12 479.001.600
13 6.227.020.800
14 87.178.291.200
15 1.307.674.368.000
20 2.432.902.176.640.000
25 15.511.210.043.330.985.984.000.000
50 3,04140932... × 1064
70 1,19785717... × 10100
450 1,73336873... × 101.000
3.249 6,41233768... × 1010.000
25.206 1,205703438... × 10100.000
47.176 8,4485731495... × 10200.001
100.000 2,8242294079... × 10456.573
1.000.000 8,2639316883... × 105.565.708
9,99... × 10304 1 × 103.045657055180967... × 10307

DefinicijaUredi

Faktorijelska funkcija se najčešće definiše kao

 

ili rekurzivno kao

 

U obje definicije, uključuje se slučaj

 

zbog konvencije da je proizvod ni jednog broja 1. Ova konvencija je korisna zato što

  • rekurzivna relacija   važi za  ;
  • dozvoljava jednostavno pisanje izraza za beskonačne polinome, npr.  ;
  • ova definicija mnoge identitete u kombinatorici čini važećim za nulte veličine.
    • Specifično, broj kombinacija ili permutacija praznog skupa je, jednostavno, broj 1.

PrimjenaUredi

Najjednostavnija primjena faktorijela je u kombinatorici gdje se pomoću jednostavne formule binomnog koeficijenta može izračunati broj kombinacija brojeva sa količinom k u jednoj osnovnoj grupi n. Npr. broj kombinacija u lotu.

 .

Primjenu nalazi i u tzv. Gama funkciji, Taylorovom redu itd.

PrimjerUredi

  •  

odnosno

  •  

po definiciji je:

  •  

dok negativni brojevi nemaju faktorijel.

Približno računanje faktorijelaUredi

Najveći faktorijel koji se može izračunati na običnim džepnim računarima je faktorijel broja 69. Faktorijel broja 70 ima više od 100 brojki, te se za svaki veći broj n može primijeniti Stirlingova formula za približno izračunavanje.

 

gdje je:

  broj pi (približno 3,14)
  broj e (približno 2,71)

Dvostruki faktorijel n!!Uredi

n!! označava u matematici dvostruki faktorijel i odnosi se na faktorijel parnih ili neparnih brojeva

 

na primjer:

  •  

odnosno

  •  

Također pogledajteUredi

ReferenceUredi

Vanjski linkoviUredi

Faktorijelski kalkulatori i algoritmi