Faktorijel je matematička funkcija kojom se izračunava proizvod prirodnih brojeva od 1 do nekog određenog prirodnog broja n, označeno kao n!.[1] Ova funkcija se koristi u statistici, kao i u zakonima vjerovatnoće, te u kombinatorici.

0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5.040
8 40.320
9 362.880
10 3.628.800
11 39.916.800
12 479.001.600
13 6.227.020.800
14 87.178.291.200
15 1.307.674.368.000
20 2.432.902.176.640.000
25 15.511.210.043.330.985.984.000.000
50 3,04140932... × 1064
70 1,19785717... × 10100
450 1,73336873... × 101.000
3.249 6,41233768... × 1010.000
25.206 1,205703438... × 10100.000
47.176 8,4485731495... × 10200.001
100.000 2,8242294079... × 10456.573
1.000.000 8,2639316883... × 105.565.708
9,99... × 10304 1 × 103.045657055180967... × 10307

Definicija

uredi

Faktorijelska funkcija se najčešće definiše kao

 

ili rekurzivno kao

 

U obje definicije, uključuje se slučaj

 

zbog konvencije da je proizvod ni jednog broja 1. Ova konvencija je korisna zato što

  • rekurzivna relacija   važi za  ;
  • dozvoljava jednostavno pisanje izraza za beskonačne polinome, npr.  ;
  • ova definicija mnoge identitete u kombinatorici čini važećim za nulte veličine.
    • Specifično, broj kombinacija ili permutacija praznog skupa je, jednostavno, broj 1.

Primjena

uredi

Najjednostavnija primjena faktorijela je u kombinatorici gdje se pomoću jednostavne formule binomnog koeficijenta može izračunati broj kombinacija brojeva sa količinom k u jednoj osnovnoj grupi n. Npr. broj kombinacija u lotu.

 .

Primjenu nalazi i u tzv. Gama funkciji, Taylorovom redu itd.

Primjer

uredi
  •  

odnosno

  •  

po definiciji je:

  •  

dok negativni brojevi nemaju faktorijel.

Približno računanje faktorijela

uredi

Najveći faktorijel koji se može izračunati na običnim džepnim računarima je faktorijel broja 69. Faktorijel broja 70 ima više od 100 brojki, te se za svaki veći broj n može primijeniti Stirlingova formula za približno izračunavanje.

 

gdje je:

  broj pi (približno 3,14)
  broj e (približno 2,71)

Dvostruki faktorijel n!!

uredi

n!! označava u matematici dvostruki faktorijel i odnosi se na faktorijel parnih ili neparnih brojeva

 

na primjer:

  •  

odnosno

  •  

Primorijel

uredi

Ako imamo prirodni broj   tada je   umnožak prostih brojeva koji ne premašuju  .

Preciznije,

 

Također pogledajte

uredi

Reference

uredi

Vanjski linkovi

uredi
Faktorijelski kalkulatori i algoritmi