Ekssekans i ekskosekans

Exsekans (exsec, exs) i exkosekans (excosec, excsc, exc) su trigonometrijske funkcije definisane slično kao i funkcije sekansa i kosekansa. One su bile veoma važne u oblastima nauke koje su obuhvatale razna mjerenja, razne oblasti inženjerstva, astronomije i u sfernoj trigonometriji. Jedna od osobina zbog koje su bile važne u primjeni u tim oblastima je zbog toga što su mogle da pomognu u postizanju određene tačnosti. U današnje vrijeme se više toliko ni ne koriste osim kada je potrebno da se pojednostave neki proračuni.

Jedinična kružnica sa trigonometrijskim funkcijama.

Exsekans

Trigonometrijske funkcije, uključujući i exsekans, mogu biti kontruisane unutar jedinične kružnice koja ima centar u O. Na ovoj slici exsekans predstavlja dio sekansne linije definisan kao odsječak DE.

Exsekans, poznat kao i spoljnji sekans, (skr. exsec ili exs), je trigonometrijska funkcija definisana preko trigonometrijske funkcije sekans (sec(θ)), kao:

$\operatorname {exsec} (\theta )=\sec(\theta )-1={\frac {1}{\cos(\theta )}}-1.$

Ova funkcija je dobila svoje ime iz grafičke konstrukcije trigonometrijskih funkcija na jediničnoj kružnici. sec(θ) u stvari predstavlja sekansnu liniju OE, dok je exsekans dio ove linije, označen kao DE. Na slici se vidi da ovaj dio sekansne linije leži izvan jedinične kružnice, pa se zbog toga za naziv ove trigonometrijske funkcije izabrao naziv exsekans (ex na Latinskom jeziku znači izvan).

Exkosekans

Graf exsekansa (plavo) i exkosekansa (zeleno)

Također, osim exsekansa, postoji i još jedna slična funkcija, koja se naziva excosekans ili koexsekans, također, poznat i kao spoljnji kosekans, (skr. excosec, coexsec, excsc ili exc,) koja je definisana kao exsekans komplementarnog ugla:

$\operatorname {excsc} (\theta )=\operatorname {exsec} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\csc(\theta )-1={\frac {1}{\sin(\theta )}}-1.$

Korištenje

Iako je nekada bila veoma važna u oblastima nauke koje su obuhvatale razna mjerenja, razne oblasti inženjerstva, astronomije i u sfernoj trigonometriji, eksekansna funkcija se u današnje vrijeme veoma slabo koristi. Razlog takvog korištenja je zbog široke rasprostranjenosti kalkulatora i računara, što je za posljedicu imalo slabu upotrebu ovakvih specijaliziranih trigonometrijskih funkcija.

Formule koje povezuju eksekans i ekskosekans sa osnovnim trigonometrijskim funkcijama su:

$\operatorname {exsec} (\theta )={\frac {1-\cos(\theta )}{\cos(\theta )}}={\frac {\operatorname {versin} (\theta )}{\cos(\theta )}}=\operatorname {versin} (\theta )\sec(\theta )=2\left(\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right)^{2}\sec(\theta )$

$\operatorname {excsc} (\theta )={\frac {1-\sin(\theta )}{\sin(\theta )}}={\frac {\operatorname {coversin} (\theta )}{\sin(\theta )}}=\operatorname {coversin} (\theta )\csc(\theta )=2\left(\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right)^{2}\csc(\theta ).\$

Matematičke osobine

Izvodi

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \theta }}\operatorname {exsec} (\theta )=\tan(\theta )\sec(\theta )={\frac {\sin(\theta )}{(\cos(\theta ))^{2}}}$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \theta }}\operatorname {excsc} (\theta )=-\cot(\theta )\csc(\theta )={\frac {-\cos(\theta )}{(\sin(\theta ))^{2}}}$

Integrali

$\int \operatorname {exsec} (\theta )\,\mathrm {d} \theta =\ln \left[\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)+\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]-\ln \left[\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)-\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]-\theta +C$

Inverzne funkcije

Za funkcije exsekansa i exkosekansa postoje i inverzne funkcije arcexsekans (skr. arcexsec, aexsec, aexs, exsec⁻¹) i arcexkosekans (skr. arcexcosec, arcexcsc, aexcsc, aexc, excsc⁻¹) definisane kao:

$\operatorname {arcexsec} (y)=\operatorname {arcsec}(y+1)=\arccos \left({\frac {1}{y+1}}\right)=\arctan({\sqrt {y^{2}+2y}})$ (za y ≤ −2 ili y ≥ 0)

$\operatorname {arcexcsc} (y)=\operatorname {arccsc}(y+1)=\arcsin \left({\frac {1}{y+1}}\right)\,$

Veza sa tangensom

Exsekansna funkcija je povezana za tangensnom funkcijom preko sljedeće relacije:

$\operatorname {exsec} (\theta )=\tan(\theta )\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right).$

Funkcije exsekansa i exkosekansa su također definirane i u kompleksnoj ravni.

Također pogledajte

• Trigonometrija
• Trigonometrijska funkcija
• Versinus i haversinus
• Tetiva
• Eksponencijalne funkcije
• Logaritamske funkcije