Pravilo derivacije složene funkcije

U kalkulusu, pravilo derivacije složene funkcije je formula za derivaciju kompozicije dvije funkcije.

Teme u kalkulusu

Fundamentalni teorem
Limesi funkcija
Kontinuitet
Teorem srednje vrijednosti

U intuitivnim uvjetima, ako varijabla y zavisi od druge varijable u, koja, na kraju, zavisi od treće varijable x, tada se način promjene y o odnosu na x može izračunati kao promjena y o odnosu na u pomnoženo sa načinom promjene u u odnosu na x. Jednostavnije rečeno, derivacija složene funikcije računa se tako da se pomnoži derivacija glavne funkcije sa derivacijom podfunkcije unutar te glavne funkcije (pogledajte primjer I).

DefinicijaUredi

Pravilo derivacija složene funkcije kaže da je

 

koje se kraće piše u formi  .

Alternativno, u Leibnizovoj notaciji, pravilo derivacije složene funkcije je

 

U integraciji, nasuprot pravilu derivacije složene funkcije, stoji pravilo substitucije.

Dokaz pravila derivacije složene funkcijeUredi

Neka f i g budu funkcije i neka x bude broj takav da je f idiferencijabilna kod g(x) i da je g diferencijabilno kod x. Tada je definicija diferencijabilnosti,

 

gdje ε(δ) → 0 kada δ → 0. Slično,

 

gdje η(α) → 0 kada α → 0. Također definišimo[1] da je

 

Sada je

   
 

gdje je

 

Uočite da kada δ → 0, αδ/δg′(x) i αδ → 0, te zbog toga η(αδ) → 0. Slijedi da je

 

PrimjeriUredi

Primjer IUredi

Razmotrimo  . Imamo   gdje je   i   Zbog toga,

   
 

Kako bi diferencirali trigonometrijsku funkciju

 

možemo pisati   sa   i  . Tada dobijamo

 

pošto je   i  .

Primjer IIUredi

Difercencirajmo  , itd.

 
 
 

ReferenceUredi

  1. ^ Da bismo uočili da je ovo potrebno, pretpostavite, na pruimjer, da je g konstantna funkcija.

Također pogledajteUredi