Pascalov trougao

Pascalov trougao je termin prema autoru djela Traité du triangle arithmétique (Rasprava o aritmetičkom trouglu) koje je objavljena posthumno u 1665. U njemu je Pascal prikupio nekoliko ondašnjih znalaca o trokutu i zaposlio ih na rješavanju problema u teoriji vjerovatnoće. Trougao je po Pascalu kasnije nazvao Pierre Raymond de Montmort (1708.), koji je pod nazivom "Table de M. Pascal pour les combinaisons" (francuski: Tabela gospodina Pascal za kombinacije) i Abraham de Moivre (1730.), koji je pod nazivom "Triangulum Arithmeticum PASCALIANUM", koji je postao moderni oblik zapadnjačkog imena.[1]

Svaki broj u Pascalovom trouglu je suma dva susjedna broja u redu iznad njega.
Prvih šest redova Pascalovog trougla
Yang Huiov (Pascalov) trougao kao što je prikazano na drevnim kineskim računalima pomoću štapova za brojanje.

U matematici, Pascalov trougao je tako uobličeni niz binomnih koeficijenta, tj. trougao od niza ekspanzije binoma (1 + 1)n. U zapadnom svijetu ga je imenovao francuski matematičar Blaise Pascal, iako su ga drugi matematičari studirli stoljećima prije njega u Indiji.[2] Iranu, Kini, Njemačkoj i Italiji.[3]

Redovi Pascalovog trougla su konvencionalno poredani počevši od reda n = 0 na vrhu. Svi unosi u svakom redu su numerirani na lijevoj strani, uz početak sa k = 0 i obično približeni brojevima u odgovarajućem redu. Jednostavna konstrukcija trougla ide slijedećim tokom. Na redu 0, upiše se samo broj  1. Za konstrukciji elemenata slijedećih redova slijedi model: svaki red počinje brojem 1, koji se upisuje jedno mjesto ispred 1 prethodnog reda, a naredni broj se dobija zbrajanjem dva susjedna iz prethodnog. Na primjer, prvi broj u prvom redu je 1 (zbir 0 i 1), dok su brojevi 1 i 3 u trećem redu dodaju da proizvedu broj 4 u četvrtom redu.

,

onda

za bilo koju ne-negativni cijeli broj n i bilo cijeli K između 0 i n .[4] Pascalov trougao ima višedimenziske generalizacije. Trodimenzijska verzija se zove Pascalova piramida ili Pascalov tetraedar, dok je opšta verzije nazivaju Pascalove jednadžbe.

Potencije broja 2

uredi

Zbir brojeva u pojedinom redu Pascalovog trougla daje potenciju broja 2. Tako je

  1. red jednak  
  2. red jednak  
  3. red jednak  
  4. red jednak  
  5. red jednak  
  6. red jednak  
 

Potencije broja 11

uredi

Posmatramo li brojeve jednog reda kao cifre jednog broja, dolazi se do zanimljivog otkrić da se radi o potencijama broja 11. Tako je

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

Od šestog reda pa nadalje dvocifrene brojeve čitamo na drugi način. Kako imamo brojeve 1, 5,10, 10,5, 1 čita,o ih na sčkedeći način   tj.  

Figurativni brojevi

uredi

Stari su Grci posebnu pažnju posvečivali su figurativnim brojevima. To su brojevi koji se mogu pravilno rasporediti po stranicama i unutrašnjosti pravilnih poligona. Tako imamo trouglaste, četverouglaste, petougaone i šestougaone brojeve

Niz trougaonih brojeva nalazimo u Pascalovom trouglu do niza prirodnih brojeva. Formula opšteg člana niza je  

Tetraedarni brojevi 1, 4, 10, 20, 35, 56,84, predstavljaju niz parcijalnih zbirova trouglastih brojeva. U trouglu ih nalazimo na mjestu četvrte dijagonale Formula opšteg člana niza je  

Geometrijski se ti brojevi mogu prikazati kao pravilno raspoređene tačke po bridovima, stranama i u unutrašnjosti tetraedra

Formula za rješenje problema  

Binomni koeficijenti

uredi
 

Pascalov trougao se veže uz binomni teorem. Koeficienti pojedinih redova Pascalovog trougla predstavljau binomne koeficiente. označavaju se sa  , gdje je n broj reda , k broj koeficienta u redu.

Za binomne koeficijente vrijedi simetričnost tj , pa su i redovi u Pascalovom trouglu simetrični.

 

 
 
 

Reference

uredi
  1. ^ Fowler D. "The Binomial Coefficient Function". The American Mathematical Monthly. 103 (1): 1–17. doi:10.2307/2975209. JSTOR 2975209. Zanemaren tekst "1996" (pomoć); CS1 održavanje: nepreporučeni parametar (link)
  2. ^ Maurice Winternitz M. : History of Indian Literature, Vol. III
  3. ^ Peter Fox (1998). Cambridge University Library: the great collections. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-62647-7. Provjerite vrijednost parametra |isbn=: invalid character (pomoć).
  4. ^ The binomial coefficient   konvencijski set za 0 ako je k isto ili manje od 0 ili veće od n.

Izvor

uredi

Pascalov ili kineski trougao Arhivirano 28. 11. 2020. na Wayback Machine

Također pogledajte

uredi