Binomna teorema

U elementarnoj algebri, binomni teorem opisuje koeficijente stepena binoma kada je on predstavljen u razvijenoj formi. Njegov najjednostavniji oblik kaže da je

za bilo koje realne ili kompleksne brojeve x i y, te bilo koji nenegativan cijeli broj n. Binomni koeficijent, koji se pojavljuje u (1), može se definisati preko funkcije faktorijela n!:

Na primjer, pred nama su slučaji kada je 2 ≤ n ≤ 5:

"Binomni tip"

uredi

Binomni teorem može se iskazati tako što ćemo reći da je polinomni niz

 

iz binomnog tipa.

Dokaz

uredi

Jedan način da dokažemo binomni teorem (1) je pomoću matematičke indukcije. Kada je n = 0, imamo da je

 

Sada pretostavimo da teorem važi i kada je eksponent m. Tada, za n = m + 1

 
 

po hipotezi indukcije

 

množeći sa a i b dobijamo

 

izvlačimo član k = 0

 

i kažemo da je j = k − 1

 

izvlačimo član k = m + 1 sa desne strane

 

te kombinujemo dobijene sume

 

iz Pascalovog pravila imamo da je

 

dodajemo u m + 1 članova.

Binomni broj

uredi

Binomni broj je broj u obliku   (kada je n najmanje 2). Kada je znak ili ako je n neparan broj, tada se binomni brojevi kogu rastaviti na faktore algebarski:

 

Primjeri:

 
 
 
 

Da bi razložili   na faktore, koristite izraz

 

Također pogledajte

uredi

Zabilješke

uredi

Reference

uredi
  • Amulya Kumar Bag. Binomial Theorem in Ancient India. Indian J.History Sci.,1:68-74,1966.

Vanjski linkovi

uredi