Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljen izvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori).
Ako se pravilno ne potkrijepe pouzdanim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti izbrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.
U elementarnoj algebri , binomni teorem opisuje koeficijente stepena binoma kada je on predstavljen u razvijenoj formi. Njegov najjednostavniji oblik kaže da je
(
x
+
y
)
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
x
n
−
k
y
k
(
1
)
{\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}\quad \quad \quad (1)}
za bilo koje realne ili kompleksne brojeve x i y , te bilo koji nenegativan cijeli broj n . Binomni koeficijent , koji se pojavljuje u (1), može se definisati preko funkcije faktorijela n !:
(
n
k
)
=
n
!
k
!
(
n
−
k
)
!
.
{\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}.}
Na primjer, pred nama su slučaji kada je 2 ≤ n ≤ 5:
(
x
+
y
)
2
=
x
2
+
2
x
y
+
y
2
{\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}\,}
(
x
+
y
)
3
=
x
3
+
3
x
2
y
+
3
x
y
2
+
y
3
{\displaystyle (x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}\,}
(
x
+
y
)
4
=
x
4
+
4
x
3
y
+
6
x
2
y
2
+
4
x
y
3
+
y
4
{\displaystyle (x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}\,}
(
x
+
y
)
5
=
x
5
+
5
x
4
y
+
10
x
3
y
2
+
10
x
2
y
3
+
5
x
y
4
+
y
5
.
{\displaystyle (x+y)^{5}=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5}.\,}
Binomni teorem može se iskazati tako što ćemo reći da je polinomni niz
{
x
k
:
k
=
0
,
1
,
2
,
…
}
{\displaystyle \left\{\,x^{k}:k=0,1,2,\dots \,\right\}\,}
iz binomnog tipa .
Jedan način da dokažemo binomni teorem (1) je pomoću matematičke indukcije . Kada je n = 0, imamo da je
(
a
+
b
)
0
=
1
=
∑
k
=
0
0
(
0
k
)
a
0
−
k
b
k
.
{\displaystyle (a+b)^{0}=1=\sum _{k=0}^{0}{0 \choose k}a^{0-k}b^{k}.}
Sada pretostavimo da teorem važi i kada je eksponent m . Tada, za n = m + 1
(
a
+
b
)
m
+
1
=
a
(
a
+
b
)
m
+
b
(
a
+
b
)
m
{\displaystyle (a+b)^{m+1}=a(a+b)^{m}+b(a+b)^{m}\,}
=
a
∑
k
=
0
m
(
m
k
)
a
m
−
k
b
k
+
b
∑
j
=
0
m
(
m
j
)
a
m
−
j
b
j
{\displaystyle =a\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}a^{m-k}b^{k}+b\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j}}
po hipotezi indukcije
=
∑
k
=
0
m
(
m
k
)
a
m
−
k
+
1
b
k
+
∑
j
=
0
m
(
m
j
)
a
m
−
j
b
j
+
1
{\displaystyle =\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j+1}}
množeći sa a i b dobijamo
=
a
m
+
1
+
∑
k
=
1
m
(
m
k
)
a
m
−
k
+
1
b
k
+
∑
j
=
0
m
(
m
j
)
a
m
−
j
b
j
+
1
{\displaystyle =a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j+1}}
izvlačimo član k = 0
=
a
m
+
1
+
∑
k
=
1
m
(
m
k
)
a
m
−
k
+
1
b
k
+
∑
k
=
1
m
+
1
(
m
k
−
1
)
a
m
−
k
+
1
b
k
{\displaystyle =a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{k=1}^{m+1}{m \choose k-1}a^{m-k+1}b^{k}}
i kažemo da je j = k − 1
=
a
m
+
1
+
∑
k
=
1
m
(
m
k
)
a
m
−
k
+
1
b
k
+
∑
k
=
1
m
(
m
k
−
1
)
a
m
+
1
−
k
b
k
+
b
m
+
1
{\displaystyle =a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k-1}a^{m+1-k}b^{k}+b^{m+1}}
izvlačimo član k = m + 1 sa desne strane
=
a
m
+
1
+
b
m
+
1
+
∑
k
=
1
m
[
(
m
k
)
+
(
m
k
−
1
)
]
a
m
+
1
−
k
b
k
{\displaystyle =a^{m+1}+b^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}\left[{m \choose k}+{m \choose k-1}\right]a^{m+1-k}b^{k}}
te kombinujemo dobijene sume
=
a
m
+
1
+
b
m
+
1
+
∑
k
=
1
m
(
m
+
1
k
)
a
m
+
1
−
k
b
k
{\displaystyle =a^{m+1}+b^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m+1 \choose k}a^{m+1-k}b^{k}}
iz Pascalovog pravila imamo da je
=
∑
k
=
0
m
+
1
(
m
+
1
k
)
a
m
+
1
−
k
b
k
{\displaystyle =\sum _{k=0}^{m+1}{m+1 \choose k}a^{m+1-k}b^{k}}
dodajemo u m + 1 članova.
Binomni broj je broj u obliku
x
n
±
y
n
{\displaystyle \scriptstyle x^{n}\,\pm \,y^{n}}
n najmanje 2). Kada je znak ili ako je n neparan broj, tada se binomni brojevi kogu rastaviti na faktore algebarski:
x
n
±
y
n
=
(
x
±
y
)
(
x
n
−
1
∓
x
n
−
2
y
+
⋯
∓
x
y
n
−
2
+
y
n
−
1
)
.
{\displaystyle x^{n}\pm y^{n}=(x\pm y)(x^{n-1}\mp x^{n-2}y+\cdots \mp xy^{n-2}+y^{n-1}).\,}
Primjeri:
x
2
−
y
2
=
(
x
−
y
)
(
x
+
y
)
{\displaystyle x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)\,}
x
3
−
y
3
=
(
x
−
y
)
(
x
2
+
x
y
+
y
2
)
{\displaystyle x^{3}-y^{3}=(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})\,}
x
3
+
y
3
=
(
x
+
y
)
(
x
2
−
x
y
+
y
2
)
{\displaystyle x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})\,}
x
8
−
y
8
=
(
x
−
y
)
(
x
+
y
)
(
x
2
+
y
2
)
(
x
4
+
y
4
)
{\displaystyle x^{8}-y^{8}=(x-y)(x+y)(x^{2}+y^{2})(x^{4}+y^{4})\,}
Da bi razložili
x
n
−
y
n
{\displaystyle \scriptstyle x^{n}\,-\,y^{n}}
x
n
−
y
n
=
(
x
−
y
)
(
∑
k
=
0
n
−
1
x
k
y
n
−
1
−
k
)
.
{\displaystyle x^{n}-y^{n}=(x-y)\left(\sum _{k=0}^{n-1}x^{k}y^{n-1-k}\right).}
Amulya Kumar Bag. Binomial Theorem in Ancient India. Indian J.History Sci.,1:68-74,1966. 
![{\displaystyle =a^{m+1}+b^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}\left[{m \choose k}+{m \choose k-1}\right]a^{m+1-k}b^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e618a93bfc846cc18c367d38d3425feb259cb85)
