Bernoullijeva nejednakost

U realnoj analizi, Bernoullijeva nejednakost je nejednakost koja aproksimuje eksponencijacije od 1 + x.

Nejednakost iskazuje da je

(1+x)^{r}\geq 1+rx\!

za svaki cijeli broj r ≥ 0 i svaki realan broj x > −1. Ako je eksponent r paran, tada nejednakost važi za sve realne brojeve x. Striktna varijanta ove nejednakosti glasi

(1+x)^{r}>1+rx\!

za svaki cijeli broj r ≥ 2 i za svaki realan broj x ≥ −1, uz x ≠ 0.

Bernoullijeva nejednakost se često koristi kao bitan korak u dokaz drugih nejednakosti. Sama se može dokazati korištenjem matematičke indukcije, kao što je prikazano ispod.

Dokaz nejednakosti

Za $r=0,\,$

(1+x)^{0}\geq 1+0x

je ekvivalentna sa $1\geq 1$ , što je tačno.

Sada pretpostavimo da je iskaz tačan za $r=k$ :

(1+x)^{k}\geq 1+kx.

Tada slijedi da je

(1+x)(1+x)^{k}\geq (1+x)(1+kx)

(po hipotezi, pošto je

(1+x)\geq 0

)

{\begin{matrix}&\iff &(1+x)^{k+1}\geq 1+kx+x+kx^{2}\\&\iff &(1+x)^{k+1}\geq 1+(k+1)x+kx^{2}\end{matrix}}.

Međutim, kada je $1+(k+1)x+kx^{2}\geq 1+(k+1)x$ (pošto je $kx^{2}\geq 0$ ), slijedi da je $(1+x)^{k+1}\geq 1+(k+1)x$ , što znači da je iskaz tačan za $r=k+1$ .

Indukcijom zaključujemo da je iskaz tačan za sve $r\geq 0.$

Generalizacija

Eksponent r može biti uopćen u proizvoljni realan broj na slijedeći način: ako je x > −1, tada je

(1+x)^{r}\geq 1+rx\!

za r ≤ 0 ili r ≥ 1, i

(1+x)^{r}\leq 1+rx\!

za 0 ≤ r ≤ 1.

Ova generalizacija može se dokazati upoređivanjem derivacija. Ponovo, striktne varijante ove nejednakosti zahtijevaju da je x ≠ 0 i r ≠ 0, 1.

Vezane nejednakosti

Slijedeća nejednačina procjenjuje r-ti stepen od 1 + x u odnosu na drugu stranu nejednakosti. Za sve realne brojeve x, r > 0, imamo da je

(1+x)^{r}\leq e^{rx},\!

gdje je e = 2,718...

Ovo se može dokazati korištenjem jednakosti (1 + 1/k)^k < e.

Reference

Carothers, N. (2000). Real Analysis. Cambridge: Cambridge University Press. str. 9. ISBN 0521497566.
Bullen, P.S. (1987). Handbook of Means and Their Inequalities. Berlin: Springer. str. 4. ISBN 1402015224.
Zaidman, Samuel (1997). Advanced Calculus. City: World Scientific Publishing Company. str. 32. ISBN 9810227043.

Vanjski linkovi

Eric W. Weisstein, Bernoullijeva nejednakost na MathWorld-u.
Bernoulli Inequality by Chris Boucher, Wolfram Demonstrations Project.