Leibnizovo integracijsko pravilo

U matematici, Leibnizovo pravilo za diferencijaciju pod znakom integrala, koja je dobila naziv po Gottfriedu Leibnizu, nam govori da ako imamo integral oblika

$\int _{y_{0}}^{y_{1}}f(x,y)\,dy$

tada se, za $x\in (x_{0},x_{1})$, derivacija ovog integrala može iskazati kao

${d \over dx}\,\int _{y_{0}}^{y_{1}}f(x,y)\,dy=\int _{y_{0}}^{y_{1}}{\partial \over \partial x}f(x,y)\,dy$

uz uslov da su $f$ i $\partial f/\partial x$ neprekidne na oblastima oblika

$[x_{0},x_{1}]\times [y_{0},y_{1}].\,$

Granice koje su varijable

Općenitiji rezultat, primjenljiv kada su granice integracije a i b, kao i podintegralna funkcija ƒ( x, α ) funkcije parametra α, je:

$\ {\frac {d}{d\alpha }}\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}\,f(x,\alpha )\,dx+f(b,\alpha ){\frac {db}{d\alpha }}-f(a,\alpha ){\frac {da}{d\alpha }}\,$  

gdje parcijalna derivacija od f govori da se unutar integrala samo varijacija od ƒ ( x, α ) sa α uzima u obzir pri računanju derivacije.

Trodimenzionalni, vremenski zavisan slučaj

Slika 1: Vektorsko polje F ( r, t ) definisano kroz prostor, i površ Σ ograničena krivom ∂Σkoja se kreće brzinom v po kojoj se polje integriše.

Leibnizovog integraciono pravilo za tri dimenzije je:

 ${\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {F} (\mathbf {r} ,\ t)\cdot d\mathbf {A}$

  $=\iint _{\Sigma (t)}\left[{\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {F} (\mathbf {r} ,\ t)+\left(\mathrm {\nabla } \cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ,\ t)\right)\mathbf {v} \right]\cdot \ d\mathbf {A} \$

$\ -\oint _{\partial \Sigma (t)}\left(\mathbf {v\times } \mathbf {F} (\mathbf {r} ,\ t)\right)\cdot d\mathbf {s} \ ,$

gdje je:

F ( r, t ) vektorsko polje u prostornoj poziciji r u vremenu t

Σ je pokretna površ ograničena krivom ∂Σ

d A je vektorski element površi Σ

d s je vektorski element krive ∂Σ

v je brzina kretanja oblasti Σ

∇• je vetor divergencije

× je vektorski proizvod

Dvostruki integrali su površinski integrali po površi Σ, i linijski integral je po graničnoj krivoj ∂Σ.

Dokazi

Osnovni oblik

Prvo, pretspostavimo da vrijedi

$u(x)=\int _{y_{0}}^{y_{1}}f(x,y)\,dy.$

Tada je

${d \over dx}u(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{u(x+h)-u(x) \over h}.$

Zamjenom u prethodno imamo

$=\lim _{h\rightarrow 0}{\int _{y_{0}}^{y_{1}}f(x+h,y)\,dy-\int _{y_{0}}^{y_{1}}f(x,y)\,dy \over h}.$

Pošto je integracija linearna, možemo pisati dva integrala kao jedan:

$=\lim _{h\rightarrow 0}{\int _{y_{0}}^{y_{1}}(f(x+h,y)-f(x,y))\,dy \over h}.$

Možemo konstantu staviti pod integral, zajedno sa podintegralnom funkcijom

$=\lim _{h\rightarrow 0}\int _{y_{0}}^{y_{1}}{f(x+h,y)-f(x,y) \over h}\,dy.$

Sada, pošto je podintegralna funkcija u obliku diferencijalnog količnika:

$=\int _{y_{0}}^{y_{1}}{\partial \over \partial x}f(x,y)\,dy$

koji se pravda sa uniformna neprekidnost€uniformnom neprekidnošću, te je zbog toga

${d \over dx}u(x)=\int _{y_{0}}^{y_{1}}{\partial \over \partial x}f(x,y)\,dy.$

Također pogledajte

• Pravilo derivacije proizvoda
• Leibnizovo pravilo (uopćeno pravilo derivacije proizvoda)
• Diferencijacija pod znakon integrala