Liouvilleova funkcija

Liouvilleova funkcija, označane sa λ(n) i koja je dobila naziv po Josephu Liouvilleu, je važna funkcija u teoriji brojeva.

Ako je n pozitivan cijeli broj, tada je λ(n) definisana kao:

$\lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)},\,\!$

gdje je Ω(n) broj prostih faktora od n, brojenih sa multiplikativnosti. (SIDN A008836).

λ je potpuno multiplikativna pošto je Ω(n) sabirljiva. Imamo Ω(1) = 0 i odatle λ(1) = 1. Liouvilleova funkcija zadovoljava identitet:

$\sum _{d|n}\lambda (d)=1\,\!$ ako je n savršen kvadrat, i:

$\sum _{d|n}\lambda (d)=0\,\!$ u ostalim slučajevima.

Red

Dirichletov red za Liouvilleovu funkciju daje Riemannovu zeta funkciju kao

${\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}.$

Lambertov red za Liouvilleovufunkciju je

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}={\frac {1}{2}}\left(\vartheta _{3}(q)-1\right),$

gdje je $\vartheta _{3}(q)$ teta funkcija.

Reference

1. Polya, G., Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheorie. Jahresbericht der deutschen Math.-Vereinigung 28 (1919), 31-40.
2. Haselgrove, C.B. A disproof of a conjecture of Polya. Mathematika 5 (1958), 141-145.
3. Lehman, R., On Liouville's function. Math. Comp. 14 (1960), 311-320.
4. M. Tanaka, A Numerical Investigation on Cumulative Sum of the Liouville Function. Tokyo Journal of Mathematics 3, 187-189, (1980).