Linearna nezavisnost

U linearnoj algebri, porodica vektora je linearno nezavisna ako se ni jedan od njih ne može napisati kao linearna kombinacija konačno mnogo drugih vektora u skupu. Familija vektora, koji nisu linearno nezavisni, nazivaju se linearno zavisnim. Naprimjer, u trodimenzionalnom realnom vektorskom polju , imamo sljedeći primjer:

Ovdje su prva tri vektora linerano nezavisna; ali četvrti vektor jednak je 9 puta prvi plus 5 puta drugi plus 4 puta treći, tako da su ova četiri vektora zajedno lnearno zavisna. Linearna zavisnost je osobina prodice vektora, a ne nekog pojedinačnog vektora; ovdje bi, također, mogli napisati prvi vektor kao linearnu kombinaciju posljednja tri.

U teoriji vjerovatnoće i statistici postoji nevezana mjera linearne zavisnosti između slučajnih promjenljivih.

Formalna definicijaUredi

Podskup S vektorskog prostora V naziva se linearno zavisnim ako postoji konačan broj različitih vektora v1, v2, ..., vn u S i skalara a1, a2, ..., an, ne svi jednaki nuli, tako da je

 

Uočite da nula na desnoj strani nulti vektor, a ne broj nula.

Ako takvi skalari ne postoje, tada se za vektore kaže da su linearno nezavisni. Ovaj uslov može se reformulisati kao: Kad god su a1, a2, ..., an skalari takvi da vrijedi

 

imamo da je ai = 0 za i = 1, 2, ..., n, tj. postoji samo trivijalno rješenje.

Skup je linearno nezavisan ako i samo ako su predstavljanja nultog vektora kao linearne kombinacije njegovih elemenata trivijalna rješenja.

Općenitije, neka V bude vektorski prostor nad poljem K, i neka {vi | iI} bude porodica elemenata od V. Porodica je linearno zavisna nad K ako postoji porodica {aj | jJ} elemenata id K, koji nisu svi nule, tako da je

 

gdje je indeksni skup J neprazan, konačan podskup od I.

Skup X elemenata od V je linearno nezavisan ako je odgovarajuća porodica {x}xX linearno nezavisna.

Ekvivalentno, porodica je zavisna ako je jedan član u linearnom rasponu od ostatka porodice, tj. , član je linearna kombinacija ostatka porodice.

Skup vektora koji je linearno nezavisan i koji raspinje neki vektorski prostor, formira bazu za vektorski prostor. Naprimjer, vektorski prostor svih polinoma u x nad realnim brojevima ima (beskonačnu) bazu {1, x, x2, ...}.

Geometrijsko značenjeUredi

Geografski primjer može biti od pomoći pri shvatanju koncepta linearne nezavisnosti. Osoba, koja opisuje lokaciju određenog mjesta, može reći: "Mjesto se nalazi 5 kilometara sjeverno i 6 kilometara istočno odavde." Ova informacija je dovoljna kako bi se opisala ta lokacija, zato što se geografski koordinatni sistem može smatrati kao dvodimenzionalni vektorski prostor (zanemarujući nadmorsku visinu). Osoba bi mogla dodati: "Mjesto se nalazi 7,81 kilometara sjeveroistočno odavde." Ako je posljednji iskaz tačan, nije neophodan.

U ovom primjeru, vektor "5 kilometara sjeverno" i vektor "6 kilometara istočno" su linearno nezavisni. Drugačije rečeno, vektor "sjever" ne može se opisati preko vektora "istok", i obrnuto. Treći, vektor "7,81 kilometara sjeveroistočno" je linearna kombinacija druga dva vektora, te on čini skup vektora linearno zavisnim, to jest, jedan od tri vektora je nepotreban.

Također, uočite da ako se nadmorska visina ne zanemari, neophodno je dodati treći vektor u linearno nezavisan skup. Općenito, n linearno nezavisnih vektora potrebno je da se opiše neka lokacija u n-dimenzionalnom prostoru.

Primjer IUredi

Vektori (1, 1) i (−3, 2) u R2 su linearno nezavisni.

DokazUredi

Neka λ1 i λ2 budu dva realna broja, takva da je

 

Uzimajući svaku koordinatu samostalno, dobijamo

 

Rješavanjem po λ1 i λ2, dobijamo da je λ1 = 0 i λ2 = 0.

Alternativni metod korištenjem determinantiUredi

Alternativni metod koristi činjenicu da su n vektora u   linearno zavisni ako i samo ako je determinanta matrice, formirane od vektora kao kolone te marice, jednaka nuli.

U ovom slučaju, matica formirana od vektora glasi

 

Možemo napisati linearnu kombinaciju kolona kao

 

Nas interesuje da li je AΛ = 0 za neki vektor Λ, različit od nule. Ovo zavisi od determinante od A, koja glasi

 

Pošto je determinanta različita od nule, vektori (1, 1) i (−3, 2) su linearno nezavisni.

Kada je broj vektora jednak dimenziji vektora, matrica je kvadratna, te je, zbog toga, determinanta definisana.

U suprotnom, pretpostavimo da imamo m vektora sa n koordinata, gdje je m < n. Tada je A matrica dimenzije n×m, a Λ je kolona vektor sa m vrijednosti, gdje nas ponovo zanima slučaj AΛ = 0. Kao što smo prethodno vidjeli, ovo je jednako sistemu od n jednačina. Razmotrimo prvih m redova u A, prvih m jednačina; svako rješenje za puni sistem mora, također, biti tačno i za redukovani sistem. U stvari, ako je 〈i1,...,im〉 bilo koji sistem od m redova, tada jednačina mora biti tačna za te redove.

 

Dalje, i obrnuto je tačno. To jest, možemo provjeriti da li je m vektora linearno zavisno testirajući da li je

 

za sve moguće sisteme od m redova. (U slučaju da je m = n, zahtijeva se samo jedna determinanta, kao i u prethodnom primjeru. Ako je m > n, tada dobijamo teorem koji kaže da ti vektori moraju biti linearno zavisni.) Ova činjenica bitna je za teoriju; u praktičnim proračunima, dostupni su efikasniji metodi.

Primjer IIUredi

Neka je V = Rn, te razmotrimo sljedeće elemente u V:

 

Tada su e1, e2, ..., en linearno nezavisni.

DokazUredi

Pretpostavimo da su a1, a2, ..., an elementi iz R, takvi da je

 

Pošto je

 

tada je ai = 0 za sve i u intervalu {1, ..., n}.

Primjer IIIUredi

Neka V bude vektorski prostor svih funkcija realne varijable t. Tada su funkcije et i e2t u V linearno nezavisne.

DokazUredi

Pretpostavimo da su a i b dva realna broja, takva da je

aet + be2t = 0

za sve vrijednosti od t. Mi trebamo pokazati da je a = 0 i b = 0. Kako bi to učinili, sve podijelimo s et (što nikada nije jednako nuli), te oduzmemo, pri čemu dobijamo

bet = −a.

Drugim riječima, funkcija bet mora biti zavisna od t, što se dešava samo kada je b = 0. Slijedi da je a, također, jednako nuli.

Primjer IVUredi

Sljedeći vektori u R4 su linearno zavisni.

 

DokazUredi

Moramo pronaći skalare  ,   i  , takve da je

 

Formiramo simultane jednačine:

 

koje možemo riješiti (koristeći, naprimjer, Gaussovu eliminaciju), pri čemu dobijamo:

 

gdje se   može izabrati proizvoljno.

Pošto su ovo netrivijalna rješenja, vektori su linearno zavisni.

Također pogledajteUredi

Vanjski linkoviUredi