Laplaceova transformacija

U matematici, Laplaceova transformacija jedna je od najpoznatijih i najšire korištenih integralnih transformacija. Koristi se za dobijanje jednostavno rješive algebarske jednačine iz obične diferencijalne jednačine. Ima mnogo primjena u matematici, fizici, optici, elektrotehnici, kontrolnom inženjerstvu, obradi signala te teoriji vjerovatnoće.

U matematici se koristi za rješavanje diferencijalnih i integralnih jednačina, u fizici za analizu linearnih vremensko-invarijantnih sistema kao što su električne mreže, harmonijski oscilatori, optički instrumenti, te mehanički sistemi. U ovoj analizi Laplaceova transformacija često se interpretira kao transformacija iz vremenskog domena, gdje su unosi i rezultati funkcije koje zavise od vremena, u frekventni domen, gdje su isti unosi i rezultati funkcije koje zavise od kompleksne ugaone frekvencije, ili radijana po jedinici vremena. Za dati matematički ili funkcionalni opis unosa i rezultata u sistemu Laplaceova transformacija daje alternativni funkcionalni opis, koji često pojednostavljuje proces analiziranja ponašanja sistema ili pomaže da napišemo novi sistem baziran na određenim specifikacijama.

Oznake $\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}$, Laplaceova tranformacija je linearni operator funkcije f(t) (original) s realnim argumentom t (t ≥ 0) koju transformiše u funkciju F(s) (slika) s kompleksnim argumentom s. Ova transformacija, u suštini, bijektivna je za većinu od praktičnih upotreba. Laplaceova transformacija ima korisnu osobinu da mnoge relacije i operacije nad originalnima f(t) odgovaraju jednostavinjim relacijama i operacijama nad slikama F(s).

Historija

Potret Pierre-Simona Laplacea iz 1842.

Laplaceova transformacije dobila je naziv u čast matematičara i astronoma Pierre-Simona Laplacea, koji ju je koristio u svojim radovima iz teorije vjerovatnoće.

Od 1744. Leonhard Euler istraživao je integrale oblika:

$z=\int X(x)e^{ax}\,dx{\text{ and }}z=\int X(x)x^{A}\,dx,$

kao rješenja diferencijalnih jednačina, ali materiju nije dovoljno istražio. Joseph Louis Lagrange bio je poštovalac Eulera i u svom radu o integrisanju funkcija gustine vjerovatnoće istraživao je izraze oblika:

$\int X(x)e^{-ax}a^{x}\,dx,$

koje neki moderni historičari interpretiraju kao modernu teoriju Laplaceove transformacije.

Formalna definicija

Laplaceova transformacija funkcije f(t), definisana za sve realne brojeve t ≥ 0, jest funkcija F(s), definisana sa:

$F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int _{0^{-}}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.$

Donja granica 0⁻ je kraća oznaka, koja znači

$\lim _{\varepsilon \to 0+}\int _{-\varepsilon }^{\infty }$,

a koja osigurava uključenost cjelokupne Diracove delta funkcije δ(t) u 0, ako postoji takav impuls u f(t) u 0.

Parametar s je opći kompleksan broj:

$s=\sigma +i\omega .\,$

Ova integralna transformacija ima mnogo osobina koje je čine korisnom za analiziranje linearnih dinamičkih sistema. Najvažnija prednost jest ta što diferenciranje i integrisanje postaju množenje i dijeljenje, respektivno, sa s. (Ovo je slično načinu na koji logaritmi mijenjaju operaciju množenja brojeva u sabiranje njihovih logaritama.) Laplaceova transformacija mijenja integralne i diferencijalne jednačine u polinomske jednačine, koje je mnogo lakše riješiti. Kada se riješe, koristi se inverzna Laplaceova transformacija za povratak na vremenski domen.

Također pogledajte

• Fourierova transformacija
• Laplaceova transformacija primijenjena na diferencijalne jednačine
• Obrada analognog signala
• Primijenjena vjerovatnoća

Bibliografija

Moderna

• G.A. Korn and T.M. Korn, Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill Companies; 2nd edition (June 1967). ISBN 0-07-035370-0
• A. D. Polyanin and A. V. Manzhirov, Handbook of Integral Equations, CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4
• William McC. Siebert, Circuits, Signals, and Systems, MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 1986. ISBN 0-262-19229-2
• Davies, Brian, Integral transforms and their applications, Third edition, Springer, New York, 2002. ISBN 0-387-95314-0
• Wolfgang Arendt, Charles J.K. Batty, Matthias Hieber, and Frank Neubrander. Vector-Valued Laplace Transforms and Cauchy Problems, Birkhäuser Basel, 2002. ISBN 3764365498

Historijska

• Deakin, M. A. B. (1981). "The development of the Laplace transform". Archive for the History of the Exact Sciences. 25: 343–390. doi:10.1007/BF01395660.
• — (1982). "The development of the Laplace transform". Archive for the History of the Exact Sciences. 26: 351–381.CS1 održavanje: numerička imena: authors list (link)
• Euler, L. (1744) "De constructione aequationum", Opera omnia 1st series, 22:150-161
• — (1753) "Methodus aequationes differentiales", Opera omnia 1st series, 22:181-213
• — (1769) Institutiones calculi integralis 2, Chs.3-5, in Opera omnia 1st series, 12
• Grattan-Guinness, I (1997) "Laplace's integral solutions to partial differential equations", in Gillispie, C. C. Pierre Simon Laplace 1749-1827: A Life in Exact Science, Princeton: Princeton University Press, ISBN 0-691-01185-0
• Lagrange, J. L. (1773) "Mémoire sur l'utilité de la méthode", Œuvres de Lagrange, 2:171-234

Vanjski linkovi

• Online Computation of the transform or inverse transform, wims.unice.fr
• Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Laplace Transform Module by John H. Mathews
• Good explanations of the initial and final value theorems Arhivirano 8. 1. 2009. na Wayback Machine
• Laplace Transforms at MathPages
• Laplace and Heaviside at Interactive maths.
• Laplace Transform Table and Examples at Vibrationdata.
• Laplace Transform Cookbook at Syscomp Electronic Design.
• Examples Arhivirano 22. 1. 2009. na Wayback Machine of solving boundary value problems (PDEs) with Laplace Transforms
• ECE 209: Review of Circuits as LTI Systems — Gives brief overview of how the Laplace transform is used with ODE's in engineering.