Kosinusna teorema
Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljen izvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori). |
Ovom članku potrebna je jezička standardizacija, preuređivanje ili reorganizacija. |
Kosinusna teorema se koristi za rješavanje trougla u trigonometrijskoj ravni:
gdje je α ugao nasuprot stranice a.
U sfernoj trigonometriji to je formula za rješavanje sfernog trougla:
gdje je a strana nasuprot ugla A, strana b nasuprot ugla B, a strana C je nasuprot ugla C.
U ravni
urediU svakom trouglu je gdje je ugao nasuprot stranice a
gdje je ugao nasuprot stranice b
gdje je ugao nasuprot stranice c
Dokaz
Neka je dat je oštrougli trougao ABC sa visinom CD.
Iz pravouglih trouglova BCD i ACD prema Pitagorinoj teoremi je
zamjenom
i
pravouglog trougla ACD dobijamo
i zamenom u prethodnu jednakost
Za tupougli trougao ABC, sa uglom u tjemenu A, većim od pravog ugla (90°). Visina CD = h pada na produžetak stranice AB u tačku D tako da je D-A-B, te je spoljašnji ugao CAD = 180°-α. U trouglu CAD je
DA =
trouglovi BCD i ACD su pravougli i, prema Pitagorinoj teoremi imamo
Kosinusna teorema se može dokazati jednostavno i bez razmatranja različitih rasporeda koristeći vektorski račun.
Na sličan način dobijamo oatale formule
Za ugao , imamo poseban slučaj kosinusne teoreme Pitagorina teorema.
Posljedice
urediKvadrat bilo koje stranice trougla manji je, jednak ili veći od zbira kvadrata ostale dvije stranice, zavisno da li je suprotni ugao oštar, prav ili tup.
Dokaz:
Ako je onda je i
Ako je onda је i
Аkо је ondа је i
Važi i obrnuta teorema
Теоrеmа:
Ugao trougla је оštar, рrаv, ili tup zavisno od toga da li je kvadrat suprotne stranice trougla redom je manji, jednak ili veći od zbira kvadrata ostale dvije stranice.
Dokaz:
Ako је onda je prema tome je
Аko је onda je tј.
Ako је onda је tј.
U bilo kojem paralelogramu zbir kvadrata dijagonala jednak je zbiru kvadrata sve četiri njegove strane.
јер је
Sabiranjem dobijamo
Korištenje teoreme
urediTeoremu koristimo za rješavanje trougla
- ako znamo dvije stranice i ugao naspram tražene stranice
- Uglove trougla ako znamo sve tri stranice
- Treča stranica ako znamo dvije stranice i ugao naspram jedne od njih
Ako se radi pravouglom trouglu koristi se Pitagorina teorema
Koristeći Pitagorin teorem
urediTupi ugao
urediTeoremu dokazuje Euklid pomoću Pitagorinu teoremu
Oštri ugao
uredi
Koristeći Ptolomejevu teoremu
uredi
Također pogledajte
urediIzvori
urediReference
uredi- ^ Java applet version by Prof. D E Joyce of Clark University.