Integro-diferencijalna jednačina

Integro-diferencijalna jednačina je jednačina koja uključuje i integrale i derivacije funkcije.

Opšta linearna integro-diferencijalna jednačina prvog reda ima oblik

{\frac {d}{dx}}u(x)+\int _{x_{0}}^{x}f(t,u(t))\,dt=g(x,u(x)),\qquad u(x_{0})=u_{0},\qquad x_{0}\geq 0.

Kao što je tipično kod diferencijalnih jednačina, dobijanje rješenja zatvorenog oblika može često biti teško. U relativno malo slučajeva gdje se rješenje može naći, često se koristi neka vrsta integralne transformacije, gdje se problem prvo transformiše u algebarski. U takvim situacijama, rješenje problema može se dobiti primjenom inverzne transformacije na tu algebarsku jednačinu.

Primjer

Razmotrimo sljedeći problem prvog reda,

u'(x)+2u(x)+5\int _{0}^{x}u(t)\,dt=\left\{{\begin{array}{ll}1,\qquad x\geq 0\\0,\qquad x<0\end{array}}\right.\qquad {\text{with}}\qquad u(0)=0.

Laplaceova transformacija je definisana preko,

U(s)={\mathcal {L}}\left\{u(x)\right\}=\int _{0}^{\infty }e^{-sx}u(x)\,dx.

Nakon Laplaceova transformacije član po član i korištenja pravila za derivaciju i integraciju, integro-diferencijalna jednačina se prebacuje u sljedeću algebarsku jednačinu,

sU(s)-u(0)+2U(s)+{\frac {5}{s}}U(s)={\frac {1}{s}}.

Time je,

U(s)={\frac {1}{s^{2}+2s+5}}

.

Inverznom Laplaceovom transformacijom korištenjem metoda konturne integracije dobijamo

u(x)={\frac {1}{2}}e^{-x}\sin(2x)

.

Primjene

Integro-diferencijalne jednačine opisuju mnoge situacije iz nauke i inženjerstva. Posebna važna oblast primjene je kod analize električnih kola.

Aktivnost međudjelujućih inhibitorskih i ekscitacijskih neurona može se opisati sistemom integro-diferencijalnih jednačina (pogledajte kao primjer članak Wilson-Cowanov model).

Također pogledajte

Vanjski linkovi

Interactive Mathematics
Numeričko rješenje primjera korištenjem Chebfuna

Reference

Vangipuram Lakshmikantham, M. Rama Mohana Rao, “Theory of Integro-Differential Equations”, CRC Press, 1995