Linearna ekstrapolacija

U matematici, ekstrapolacija je tip procjena, izvan prvobitnog opsega posmatranja, vrijednosti varijable na osnovu njenog odnosa sa drugom varijablom. Slična je interpolaciji, koja izvodi procjene između poznatih opservacija, ali ekstrapolacija je podložna većoj neizvjesnosti i većem riziku da proizvede besmislene rezultate. Ekstrapolacija također može značiti proširenje metoda, pod pretpostavkom da će slični metodi biti primjenjivi. Ekstrapolacija se također može primijeniti na ljudsko iskustvo za projektovanje, proširenje ili produblivanje poznatog iskustva u područje koje nije poznato ili prethodno doživljeno, kako bi se došlo do (obično nagađanja) znanja o nepoznatom (npr. vozač ekstrapolira uslove na putu izvan njegovog vidokruga tokom vožnje). Metod ekstrapolacije može se primijeniti u rekonstrukciji interijera

Primjer ilustracije problema ekstrapolacije, koji se sastoji od dodjeljivanja značajne vrijednosti u plavi okvir, na $x=7$, s obzirom na crvene tačke podataka.

Metodi

Pravilan izbor metoda ekstrapolacije oslanja se na „prethodno poznavanje“ procesa koji je stvorio postojeće tačke podataka. Neki stručnjaci su predložili upotrebu uzročnih sila u evaluaciji metoda ekstrapolacije. Ključna pitanja su, naprimjer, može li se pretpostaviti da su podaci kontinuirani, glatki, možda periodični itd.

Linearna

Linearna ekstrapolacija znači kreiranje tangentne linije na kraju poznatih podataka i njeno širenje preko te granice. Linearna ekstrapolacija će dati dobre rezultate samo kada se koristi za proširenje grafikonaa približno linearne funkcije ili ne previše izvan poznatih podataka.

Ako su dvije tačke podataka najbliže tački $x_{*}$ za ekstrapolaciju su $(x_{k-1},y_{k-1})$i$(x_{k},y_{k})$, linearna ekstrapolacija daje funkciju:

$y(x_{*})=y_{k-1}+{\frac {x_{*}-x_{k-1}}{x_{k}-x_{k-1}}}(y_{k}-y_{k-1}).$

(što je identično sa linearnom interpolacijom ako je $x_{k-1}<x_{*}<x_{k}$). Moguće je uključiti više od dvije tačke i usrednjavanje nagiba linearnog interpolanta, tehnikama sličnim regresije, na tačkama podataka odabranim da budu uključene. Ovo je slično linearnom predviđanju.

Polinomna

Lagrangeove ekstrapolacije niza 1,2,3. Ekstrapolacija sa 4 dovodi do polinomskog minimalnog stepena (cyan linija).

Polinomska kriva može se kreirati kroz čitave poznate podatke ili samo blizu kraja (dvije tačke za linearnu ekstrapolaciju, tri tačke za kvadratnu ekstrapolaciju, itd.). Rezultirajuća kriva može se tada proširiti izvan kraja poznatih podataka. Ekstrapolacija polinoma se obično radi pomoću Lagrangeove interpolacije ili korištenjem Newtonovog metoda konačnih razlika da se stvori Newtnova serija koja odgovara podacima. Rezultirajući polinom može se koristiti za ekstrapolaciju podataka.

Ekstrapolacija polinoma visokog reda mora se koristiti s dužnom pažnjom. Za primjer skupa podataka i problema na gornjoj slici, sve iznad reda 1 (linearna ekstrapolacija) će možda dati neupotrebljive vrijednosti; procjena greške ekstrapolirane vrijednosti će rasti sa stepenom ekstrapolacije polinoma. Ovo je povezano sa Rungeovim fenomenom.

Konusna

Konusni presjek može se kreirati korištenjem pet tačaka blizu kraja poznatih podataka. Ako je stvoreni konusni presjek elipsa ili krug, kada se ekstrapolira, vratit će se u petlju i ponovo se spojiti. Ekstrapolirana parabola ili hiperbola neće se ponovo spojiti, ali se može zakriviti unazad u odnosu na X-osu. Ovaj tip ekstrapolacije može se uraditi sa šablonom konusnih presjeka (na papiru) ili pomoću računara.

Francuska kriva

Ekstrapolacija Francusom krivom je pogodan metod za bilo koju distribuciju koja ima tendenciju da bude eksponencijalna, ali sa faktorima ubrzanja ili usporavanja. Ovaj metod koristi se uspješno u pružanju prognoznih projekcija rasta HIV/AIDS-a u UK od 1987. godine i varijante CJD-a u UK već nekoliko godina. Druga studija je pokazala da ekstrapolacija može proizvesti isti kvalitet rezultata predviđanja kao i složenije strategije predviđanja.

Geometrijska ekstrapolacija sa predviđanjem greške

Može se kreirati sa tri tačke niza i "momentom" ili "indeksom", ovaj tip ekstrapolacije ima 100% tačnost u predviđanjima u velikom procentu poznate baze podataka serija (OEIS).

Primjer ekstrapolacije sa predviđanjem greške:

sekvenca =[1,2,3,5]

f1(x,y) = (x) / y

d1 = f1 (3,2)

d2 = f1 (5,3)

m = posljednja sekvenca (5)

n = last $ last sequence

fnos (m,n,d1,d2) = round ( ( ( n * d1) - m) + ( m * d2 ) )

okruglo $ ((3*1.66)-5) + (5*1.6) = 8

Kvalitet

Tipski, kvalitet određenog metoda ekstrapolacije je ograničen pretpostavkama o funkciji napravljenoj metodom. Ako metod pretpostavlja da su podaci ravni, onda će nelinearna funkcija biti loše ekstrapolirana. U smislu složenih vremenskih serija, neki stručnjaci su otkrili da je ekstrapolacija preciznija kada se izvodi dekompozicijom uzročnih sila.

Čak i za ispravne pretpostavke o funkciji, ekstrapolacija može ozbiljno odstupiti od funkcije. Klasični primjer je skraćena snaga serije reprezentacije sin(x) i srodnih trigonometrijskih funkcija. Naprimjer, uzimajući samo podatke iz blizine x = 0, može se procijeniti da se funkcija ponaša kao sin(x) ~ x. U blizini x = 0, ovo je odlična procjena. Međutim, dalje od x = 0, ekstrapolacija se proizvoljno pomiče od x-ose dok sin(x) ostaje u intervalu [−1, 1]. Odnosno, greška se neograničeno povećava.

Uzimanje više članova u nizu stepena sin(x) oko x = 0 će proizvesti bolju saglasnost u većem intervalu blizu x = 0, ali će proizvesti ekstrapolacije koje na kraju odstupaju od x-ose čak i brže od linearne aproksimacije.

Ova divergencija je specifično svojstvo metoda ekstrapolacije i zaobilazi se samo kada funkcionalni oblici preuzeti metodom ekstrapolacije (nenamjerno ili namjerno zbog dodatnih informacija) tačno predstavljaju prirodu funkcije koja se ekstrapolira. Za posebne probleme, ove dodatne informacije mogu biti dostupne, ali u općenitom slučaju, nemoguće je zadovoljiti sva moguća ponašanja funkcije s izvodljivo malim skupom potencijalnog ponašanja.

U kompleksnoj ravni

U kompleksnoj analizi, problem ekstrapolacije može se pretvoriti u interpolacijski problem, promjenom varijable ${\hat {z}}=1/z$. Ova transformacija zamjenjuje dio kompleksne ravni unutar jediničnog kruga s dijelom kompleksne ravni izvan jediničnog kruga. Konkretno, kompaktifikacija tačaka u beskonačnosti preslikava se na ishodište i obrnuto. Međutim, sa ovom transformacijom mora se voditi računa, budući da je originalna funkcija mogla imati "obilježja", na primjer polove i druge singularnosti, u beskonačnosti koje nisu bile evidentne iz uzorkovanih podataka.

Drugi problem ekstrapolacije je labavo povezan s problemom analitičkog nastavka, gdje je (obično) redovi moći reprezentacija funkcije prošireni na jednoj od svojih tačaka konvergencije za proizvodnju potencijskog niza sa većim radijusom konvergencije. U stvari, skup podataka iz male regije raspona koristi se za ekstrapolaciju funkcije na veću regiju.

Opet, naastavkom analize može biti osujećena funkcija karakteristikama koje nisu bile vidljive iz početnih podataka.

Također, može se koristiti transformacija sekvence kao Padéov aproksimant i transformacija sekvence Levinovog tipa kao metode ekstrapolacije koje vode do zbira serija snage koje su divergentne izvan originala radijusa konvergencije. U ovom slučaju se često dobijaju racionalni aproksimanti.

Brza

Ekstrapolirani podaci se često pretvaraju u funkciju kernela. Nakon ekstrapolacije podataka, veličina podataka se povećava N puta, ovdje je N otprilike 2–3. Ako se ovi podaci trebaju konvoluirati u poznatu funkciju kernela, numerički proračuni će povećati N log(N) puta čak i uz brzu Fourierovu transformaciju (FFT). Postoji algoritam, koji analitički izračunava doprinos iz dijela ekstrapoliranih podataka. Vrijeme izračunavanja može se izostaviti u poređenju s originalnim proračunom konvolucije. Stoga se ovim algoritmom izračuni konvolucije pomoću ekstrapoliranih podataka gotovo ne povećavaju. Ovo se naziva brza ekstrapolacija. Brza ekstrapolacija je primijenjena na rekonstrukciju CT-snimaka.

Argumenti ekstrapolacije

Ekstrapolacijski argumenti su neformalni i nekvantificirani argumenti koji tvrde da je nešto vjerovatno istinito izvan raspona vrijednosti za koje se zna da su istinite. Naprimjer, vjerujemo u stvarnost onoga što vidimo kroz lupu jer se slaže s onim što vidimo golim okom, ali se proteže dalje od toga; vjerujemo u ono što vidimo kroz svjetlosne mikroskope jer se slaže s onim što vidimo kroz lupu, ali se proteže dalje od toga; i slično za elektronske mikroskope. Takvi argumenti se široko koriste u biologiji u ekstrapolaciji sa studija na životinjama na ljude i iz pilot studija na širu populaciju.

Kao argumenti skliske staze, argumenti ekstrapolacije mogu biti jaki ili slabi u zavisnosti od faktora kao što je koliko daleko ekstrapolacija ide izvan poznatog raspona.

Također pogledajte

• Predviđanje
• Minimalna polinomska ekstrapolacija
• Multigridov metod
• Interval predviđanja
• Regresijska analiza
• Richardsonova ekstrapolacija
• Statička analiza
• Procjena trenda
• Analiza ekstrapolacijskog domena
• Rekonstrukcija enterijera
• Teorija ekstremne vrijednosti

Dopunska literatura

• Extrapolation Methods. Theory and Practice by C. Brezinski and Michela Redivo-Zaglia, North-Holland, 1991.
• Avram Sidi: "Practical Extrapolation Methods: Theory and Applications", Cambridge University Press, ISBN 0-521-66159-5 (2003).
• Claude Brezinski and Michela Redivo-Zaglia : "Extrapolation and Rational Approximation", Springer Nature, Switzerland, ISBN 9783030584177, (2020).