Alef broj

U matematičkoj teoriji skupova, alef brojevi predstavljaju brojeve koji se koriste za označavanje kardinalnosti (broja članova) beskonačnih skupova. Njihova oznaka je hebrejsko slovo alef ( $\aleph$ ).

Kardinalnost skupa prirodnih brojeva je $\aleph _{0}$ (alef-nula); sljedeća veća kardinalnost je alef-jedan $\aleph _{1}$ , pa $\aleph _{2}$ i tako dalje. Na ovaj je način moguće definirati kardinalni broj $\aleph _{\alpha }$ za svaki ordinalni broj α.

Ovaj je koncept uveo Georg Cantor, koji je i uveo pojam kardinalnosti, te došao do zaključka da beskonačni skupovi mogu imati različite kardinalnosti.

Alef brojevi se razlikuju od beskonačnosti (∞) koja se često susreće u algebri ili matematičkoj analizi. Alef brojevi označuju veličinu skupova; beskonačnost, s druge strane, se obično definira kao krajnja granica pravca realnih brojeva. Iako neki alef brojevi mogu biti veći od drugih, ∞ je jednostavno ∞.

Alef-nula

Alef-nula ( $\aleph _{0}$ ) je po definiciji kardinalnost skupa svih prirodnih brojeva (pretpostavljajući, kao i obično, aksiom izbora). Alef-nula je najmanji od svih beskonačnih kardinalnosti. Skup ima kardinalnost $\aleph _{0}$ ako i samo ako je prebrojivo beskonačan, što je slučaj ako i samo ako se može napraviti izravna bijekcija, ili jedan-jedan preslikavanje sa skupom prirodnih brojeva. Među takvim skupovima su skupovi svih prostih brojeva, svih cijelih brojeva ili skup svih racionalnih brojeva.

Alef-jedan

$\aleph _{1}$ je kardinalnost skupa svih prebrojivih ordinalnih brojeva, zvanog ω₁ ili Ω. Treba imati na umu da je ω₁ neprebrojiv skup. Ova teorija implicira (i u samoj Zermelo-Fraenkel teoriji skupova (ZF), bez aksioma izbora) da ne postoji kardinalan broj između $\aleph _{0}$ i $\aleph _{1}$ . Ako se koristi aksiom izbora, može se dalje dokazati da je klasa kardinalnih brojeva potpuno (totalno) uređena, te da je stoga $\aleph _{1}$ drugi najmanji beskonačan kardinalan broj. Korištenjem aksioma izbora se može pokazati jedno od najkorisnijih svojstava skupa Ω (standardan primjer skupa veličine $\aleph _{1}$ ): svaki prebrojivi podskup skupa Ω ima gornju granicu (u odnosu na standardnu dobru uređenost ordinala) u Ω (dokaz je lak: prebrojiva unija prebrojivih skupova je prebrojiva - ovo je jedna od najčešćih primjena aksioma izbora). Ova činjenica je analogna situaciji u $\aleph _{0}$ : svaki konačan skup prirodnih brojeva (podskup od ω) ima maksimum, koji je također prirodan broj (ima gornju granicu u ω) — konačne unije konačnih skupova su konačne.

Ω je u stvari koristan koncept, iako zvuči pomalo egzotičan. Primjer primjene je zatvaranje u odnosu na prebrojive operacije; naprimjer, pokušaj eksplicitnog opisivanja σ-algebra generirane proizvoljnom kolekcijom podskupova. Ovo je teže od većine eksplicitnih opisa "generiranja" u algebri (naprimjer vektorskih prostora, grupa, itd.) jer u tim slučajevima moramo zatvoriti samo u odnosu na konačne operacije - sabiranje, množenje i slično. Proces uključuje definisanje, za svaki prebrojivi ordinal, putem transfinitne indukcije, skupa ubacivanjem svih mogućih prebrojivih unija i komplemenata, i uzimanjem unije svega toga nad cijelim Ω.

Hipoteza kontinuuma

Kardinalnost skupa realnih brojeva je $2^{\aleph _{0}}$ . Nije jasno gdje ovaj broj potpada u hijerarhiji alef-brojeva. Iz Zermelo-Fraenkel teorije skupova, s aksiomom izbora, slijedi čuvena hipoteza kontinuuma, ekvivalentna identitetu

2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}.

Hipoteza kontinuuma je neovisna od Zermelo-Fraenkel teorije skupova s aksiomom izbora: ne može se ni dokazati niti opovrgnuti unutar konteksta tog aksiomatskog sistema. Kurt Gödel je 1940. dokazao njenu konzistentnost sa ZF teorijom skupova s aksiomom izbora; Paul Cohen je 1963. godine demonstrirao neovisnost od ZF teorije skupova s aksiomom izbora.

Alef-ω

Konvencionalno se najmanji beskonačan ordinal označuje sa ω, i kardinalan broj $\aleph _{\omega }$ je najmanja gornja granica

\left\{\,\aleph _{n}:n\in \left\{\,0,1,2,\dots \,\right\}\,\right\}.

Alef-ω je prvi neprebrojivi kardinalan broj za koji se unutar ZF teorije skupova može pokazati da nije jednak kardinalnosti skupa realnih brojeva; za bilo koji pozitivan cijeli broj n se može konzistentno pretpostaviti da je $2^{\aleph _{0}}=\aleph _{n}$ , i štoviše, moguće je pretpostaviti da je $2^{\aleph _{0}}$ proizvoljno velik.

Alef-α za opći α

Kako bi se definisao alef-α za proizvoljan ordinalan broj α, mora se definisati operacija kardinala sljedbenika, koja proizvoljnom kardinalnom broju ρ dodjeljuje sljedeći veći dobro uređen kardinal $\rho ^{+}$ . (Ako vrijedi aksiom izbora, tada je ovo sljedeći veći kardinal.)

Tada se mogu definirati alef brojevi na sljedeći način

\aleph _{0}=\omega

\aleph _{\alpha +1}=\aleph _{\alpha }^{+}

i za λ, beskonačan granični ordinal,

\aleph _{\lambda }=\bigcup _{\beta <\lambda }\aleph _{\beta }.

α-ti beskonačni početni ordinal se označuje sa $\omega _{\alpha }$ . Njegova kardinalnost je $\aleph _{\alpha }$ .

Fiksne tačke za alef

Za bilo koji ordinal α slijedi:

\alpha \leq \aleph _{\alpha }.

U mnogim slučajevima $\aleph _{\alpha }$ je strogo veći od α. Naprimjer, za bilo koji ordinal sljedbenik α, ovo vrijedi. Međutim, postoje neki granični ordinali, koji su fiksne tačke alef funkcije. Prvi takav je granica niza

\aleph _{0},\aleph _{\aleph _{0}},\aleph _{\aleph _{\aleph _{0}}},\ldots

Svaki nedostupni kardinal je, također, fiksna tačka alef funkcije.