Tačka (geometrija)

U modernoj matematici, tačka se obično odnosi na element nekih skupova, zvanim prostor.

Preciznije, u Euklidskoj geometriji, tačka je primitivni pojam na kojem je geometrija zasnovana. Bivajući primitivni pojam znači da tačka ne može biti definisana u smislu prethodno definisanih objekata. To jest, tačka je definisana jedino nekim osobinama, zvanim aksiomi koje mora zadovoljiti. Konkretno, geometrijska tačka nema bilo kakvu dužinu, površinu, volumen, ili bilo koju dimenzionalnu karakteristiku. Česta interpretacija je da je koncept tačke trebao uhvatiti pojam unikatne lokacije u Euklidskom prostoru.

Tačke u Euklidskoj geometriji

Ograničen skup tačaka (plavo) u 2D Euklidskom prostoru.

Tačke, posmatrane u okviru Euklidske geometrije, su jedan od najtemeljnijih objekata. Euklid je prvobitno definirao tačke kao "ono što nema dijela". U dvodimenzionalnom Euklidskom prostoru, tačka je predstavljena uređenim parom (x, y) brojeva, gdje prvi broj konvencionalno predstavlja horizontalu i često se označava x, a drugi broj konvencionalno predstavlja vertikalu i često se označava y. Ova ideja je lahko generalizirana za trodimenzionalni Euklidski prostor, gdje je tačka predstavljena kao uređena trojka (x, y, z) sa dodatnim trećim brojem koji označava dubinu i često se označava z. Daljne generalizacije su predstavljene kao uređeni tuplet n uvjeta, $(a 1, a 2, \dots , a n)$ , gdje je n dimenzija prostora u kojem se tačka nalazi.

Mnoge konstrukcije unutar euklidske geometrije sastoje se od neograničene kolekcije tačaka koje su u skladu sa određenim aksiomima. To se obično predstavlja skupom tačaka; Kao primjer, linija je neograničen skup tačaka oblika $\scriptstyle {L=\lbrace (a_{1},a_{2},...a_{n})|a_{1}c_{1}+a_{2}c_{2}+...a_{n}c_{n}=d\rbrace }$ , gdje su $c 1$ kroz $c n$ i d konstante i n je dimenzija prostora. Slične konstrukcije postoje koje definiraju ravan, linijski segment i ostale slične koncepte. Usput, degenerisani linijski segment se sastoji od jedne tačke.

U dodatku sa definisanjem tačaka i oblika vezanih za tačke, Euklid je također uzeo kao istinito ključnu ideju o tačkama; tvrdio je da bilo koje dvije tačke mogu biti povezane pravcem. Ovo se lahko potvrđuje pod modernom ekspanzijom Euklidske geometrije, te ima trajne posljedice na svom predstavljanju, dopuštajući konstrukciju skoro svih geometrijskih koncepata vremena. Ipak, Euclidovi postulati tačaka nisu ni kompletni niti definitivni, jer je povremeno pretpostavljao činjenice o tačkama koje nisu slijedile direktno iz njegovih aksioma, poput redanja tačaka na liniju ili postojanje posebnih tačaka. Unatoč tome, moderne ekspanzije sistema služe za uklanjanje ovih pretpostavki.

Dimenzija tačke

Postoji nekoliko neekvivalentnih definicija dimenzije u matematici. U svim općim definicijama, tačka je 0-dimenzionalna.

Dimenzija vektorskog prostora

Dimenzija vektorskog prostora je maksimalna veličina linearno nezavisnog podskupa. U vektorskom prostoru koji se sastoji od jedne tačke (koja ne smije biti nulti vektor 0), ne postoji linearno nezavisan podskup. Nulti vektor nije po sebi linearno nezavisan, jer postoji netrivijalna linearna kombinacija koja ga čini nulom: $1\cdot \mathbf {0} =\mathbf {0}$ .

Topološka dimenzija

Topološka dimezija topološkog prostora X je definisana da bude minimalne vrijednosti n, takva da je svaki ograničeni otvoreni interval ${\mathcal {A}}$ od X priznaje ograničen otvoreni interval ${\mathcal {B}}$ od X koji rafinira ${\mathcal {A}}$ u kojem se tačka ne nalazi u više od n+1 elemenata. Ako takav najmanji n ne postoji, za prostor se kaže da je od beskonačno-pokrivene dimenzije.

Tačka je nulte dimenzije sa poštovanjem pokrivenosti dimenzije jer svaki otvoreni interval prostora ima rafiniranje koje se sastoji od jednog otvorenog skupa.

Hausdorffova dimenzija

Pustimo X da bude metrički prostor. Ako je S ⊂ X i d ∈ [0, ∞), d-dimenzionalni Hausdorffov sadržaj od S je infimum skupa brojeva za δ ≥ 0 takvih da postoji neka (indeksirana) kolekcija loptica $\{B(x_{i},r_{i}):i\in I\}$ koje pokrivaju S sa r_i > 0 za svaki i ∈ I koji zadovoljava $\sum _{i\in I}r_{i}^{d}<\delta$ .

Hausdorffova dimenzija X je definisana sa

\operatorname {dim} _{\operatorname {H} }(X):=\inf\{d\geq 0:C_{H}^{d}(X)=0\}.

Tačka ima Hausdorffovu dimenziju 0 jer može biti pokrivena samo jednom loptom proizvoljno malog radijusa.

Geometrija bez tačaka

Iako je ideja tačke generalno smatrana temeljem u standardnoj geometriji i topologiji, postoje neki sistemi koji su je zaboravili, npr. nekomutativna geometrija i topologija bez tačke. Besmisleni i bez-tačke prostor nije definisan kao skup, nego preko neke strukture (algebarske ili logične respektivno) što izgleda kao dobro poznata funkcija prostora u skupu: algebra neprekidnih funkcija ili algebra skupova respektivno. Preciznije, takve strukture generaliziraju dobro poznate prostore funkcija u smislu da operacija "uzima vrijednost na ovoj tački" može da ne bude definisana. Dalja tradicija počinje iz nekih knjiga autora A. N. Whitehead u kojima je pojam regije pretpostavljen kao primitiv zajedno sa onim iz inkluzije ili konekcije.

Masa tačaka i Diracova delta funkcija

Često u fizici i matematici, korisno je zamišljati kao da ima ne-nultu masu ili naboj (ovo je posebno često u elektromagnetizmu, gdje su elektroni idealizirani kao tačke sa ne-nultim nabojem). Diracova delta funkcija, ili δ funkcija, jeste (neformalno) generalizirana funkcija realne brojne linije koja je nula svuda osim u nuli, sa integralom jednog na cijeloj realnoj liniji.^[1]^[2]^[3] Delta funkcija se ponekad smatra kao beskonačno visoka, beskonačno tanak špic na izvoru, sa ukupnom površinom jedan ispod špica, te fizikalno predstavlja idealiziranu tačkastu masu ili tačkasti naboj.^[4] Prvi put je objavljena od strane teoretskog fizičara Paula Diraca. U kontekstu signalnog procesiranja često se označava kao jedinični impulsni simbol (ili funkcija).^[5] Njen diskretni analog je Kronecker delta funkcija koja se često definiše na ograničenoj domeni i uzima vrijednosti 0 i 1.

Također pogledajte

Reference

^ Dirac 1958, §15 The δ function, p. 58
^ Gel'fand i Shilov 1968, Volume I, §§1.1, 1.3
^ Schwartz 1950, str. 3
^ Arfken i Weber 2000, str. 84
^ Bracewell 1986, Chapter 5

Literatura

Clarke, Bowman, 1985, "Individuals and Points," Notre Dame Journal of Formal Logic 26: 61–75.
De Laguna, T., 1922, "Point, line and surface as sets of solids," The Journal of Philosophy 19: 449–61.
Gerla, G., 1995, "Pointless Geometries" in Buekenhout, F., Kantor, W. eds., Handbook of incidence geometry: buildings and foundations. North-Holland: 1015–31.
Whitehead A. N., 1919. An Enquiry Concerning the Principles of Natural Knowledge. Cambridge Univ. Press. 2nd ed., 1925.
--------, 1920. The Concept of Nature. Cambridge Univ. Press. 2004 paperback, Prometheus Books. Being the 1919 Tarner Lectures delivered at Trinity College.
--------, 1979 (1929). Process and Reality. Free Press.

Vanjski linkovi

Commons logo

Commons ima datoteke na temu: Tačka (geometrija)

Definition of Point with interactive applet
Points definition pages, with interactive animations that are also useful in a classroom setting. Math Open Reference
Šablon:PlanetMath reference
Eric W. Weisstein, Tačka (geometrija) na MathWorld-u.

[Dirac1958p58-1] Dirac 1958, §15 The δ function, p. 58

[2] Gel'fand i Shilov 1968, Volume I, §§1.1, 1.3

[3] Schwartz 1950, str. 3

[4] Arfken i Weber 2000, str. 84

[Bracewell_1986_loc=Chapter_5-5] Bracewell 1986, Chapter 5

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]