Iracionalan broj

Iracionalni brojevi su oni brojevi koje ne možemo zapisati u obliku razlomaka

${\frac {a}{b}}$ gdje su a i b cijeli brojevi i $b\neq 0$

Primjeri (transcedentnih) iracionalnih brojeva su:

$e\approx 2.7182818284590452353602874...$

$\pi \approx 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923...$

Algebarski iracionalni brojevi su ${\sqrt {2}}$, ${\sqrt {3}}$, ${\sqrt {5}}$

Racionalni brojevi su gusto poredani po brojevnoj pravoj ali ga ipak ne ispunjavaju. Postoji mnogo tačaka (iracionalnih brojeva)) koji se ne mogu izmjeriti jediničnom dužinom (nisu srazmjerne s jediničnom dužinom). Primjer: prikaz   √2 na brojevnoj pravoj.

Iracionalnost kvadratnog korena iz 2

Euklidov dokaz

Euklid je svojevremeno dokazao da korijen od 2 ne može biti racionalan, na slijedeći način:

• dopustimo da korijen od 2 jest racionalan.
• onda je ${\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}$ , gdje n i m su cijeli brojevi koji nemaju općeg djelioca (jer bi ga inače mogli skratiti).

Ali onda ${\frac {n^{2}}{m^{2}}}=2$, $n^{2}=2m^{2}$, gdje n i m su cijeli brojevi.

Vidi se jasno da se $n^{2}$ dijeli na 2. Međutim, to bi podrazumijevalo da se i n dijeli na 2 jer samo parni brojevi proizvode kvadrate koji se dijele na 2 ($4^{2}=16$, na primjer, ali $5^{2}=25$; dokaz nije složen).

• Sad je pitanje: je li m paran ili ne? Ako se n dijeli na 2, onda

$n=2r$, i

$(2r)^{2}=2m^{2}$, $4r^{2}=2m^{2}$.

Ovo pak znači $2r^{2}=m^{2}$ i m je dijeljivo na 2.

Ali sad smo došli do zaključka da se i m i n dijele na 2, pa razlomak nije u najprostijem obliku; došli smo do kontradikcije -> ${\sqrt {2}}$ je iracionalan.

Drugačiji dokaz

[[Datoteka:[1]|thumb|200px|right|Jednakokraki pravougli trougao]]

Primjenom iste metode na drugačiji način možemo dokazati ${\sqrt {2}}$ iracionalan je manje poznat ali zaslužuje da se predstavi. Dakle, ako je ${\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}$ tada se geometrijskom metodom, jednostavnom lenjir i šestar konstrukcijom može demonstrirati da je ${\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}={\frac {2n-m}{m-n}}$.

Ovo je dokaz u kome nema računa već isključivo geometrije, pa se može smatrati prihvatljivim starim helenskim geometrima.

Iracionalnost zlatnog presjeka

Kada se duž podijeli na dva dijela na način da se duži dio prema cjelini odnosi na isti način kao kraći dio prema dužem, tada smo duž podijelili u zlatnom odnosu. Kaže se još da smo napravili zlatni presjek, čiji je odnos

$\varphi ={1+{\sqrt {5}} \over 2}.$

Pretpostavimo da je ovaj broj racionalan, i predstavimo ga odnosom ${\frac {n}{m}}$.

gdje su n i m uzajamno prosti. Neka je n dužina cjeline, a m dužina dužeg dijela. Tada je dužina kraćeg dijela n − m. Slijedi da je tada

${n \over m}={m \over n-m}$.

Ali ovo znači da smo pojednostavili razlomak koji, prema pretpostavci, nije mogao biti pojednostavljen, skraćen. To je kontradikcija, znači pretpostavka da je $\varphi$ racionalan nije tačna.

Transcendentni i algebarski iracionalni brojevi

Skoro svi iracionalni brojevi su transcendentni a istovremeno su svi transcendentni brojevi iracionalni.

Poznati su sljedeći primjeri

$e^{r}$ je iracionalno za $r\neq 0$

$\pi ^{r}$ je iracionalno za $r\neq 0$

$e^{\pi }$ je iracionalno

Drugi način konstrukcije iracionalnog broja je iracionalni algebarski broj tj. kao nula polinoma sa cjelobrojnim koeficijentima.

Posmatrajmo jednačinu:

$p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}=0$

gdje su koeficijenti $a_{i}$ cijeli brojevi. Pretpostavimo da postoji realan broj $x$ takav da je $p(x)=0$

Jedini mogući racionalni korjen ovog polinoma je oblika $r/s$

gdje je$r$ djelilac $a_{0}$ i $s$ je delilac $a_{n}$. Postoji konačan broj kandidata i svi se mogu provjeriti pojedinačno. Ako nijedan od njih nije korjen $p$, tada $x$ mora biti iracionalno.

Ova tehnika može biti korištena da se pokaže da je

$x={\sqrt[{3}]{{\sqrt {2}}+1}}$ iracionalan, jer je tada

$(x^{3}-1)^{2}=2$ odnosno

$x^{6}-2x^{3}-1=0$

Ovaj polinom nema racionalne korjene (jedini kandidati su $\pm 1$). Zato što algebarski brojevi čine polje, mnogi iracionalni brojevi mogu biti konstruisani kombinovanjem transcendentnih i algebarskih brojeva.

Na primjer $3\pi +2$, $\pi +{\sqrt {2}}$ i $e{\sqrt {3}}$ su iracionalni (i transcendentni).

Jednostavan dokaz iracionalnosti za neke logaritme

Logaritmi su vjerovatno najjednostavniji za dokazivanje iracionalnosti. Slijedi dokaz svođenjem na kontradikciju, da je $\log _{2}3$ iracionalan

Ako je $\log _{2}3$ racionalan.

Znači postoje prirodni brojevi $m$ i $n$, takvi da je $\log _{2}3={\frac {m}{n}}$.

Tada je

$2^{m/n}=3=>2^{m}=3^{n}$

2 na neki prirodan broj je uvijek parno, a 3 na neki prirodan broj je uvijek neparno. Slijedi početna pretpostavka je pogrešna.

Slučajevi kao što je $\log _{10}2$ se dokazuju slično.

Iracionalni brojevi i decimalni razvoj

Često se pogrešno zaključuje da matematičari definišu iracionalan broj u smislu decimalnog razvoja, nazivajući broj iracionalnim ako decimalni razvoj ima beskonačno cifara, a cifre se ne ponavljaju. Nijedan matematičar ne uzima ovo kao definiciju jer izbor osnove 10 za brojni sistem je prozvoljan a prava definicija je bolja i jednostavnija. Mada, istini za volju, tačno je da je broj oblika n/m, gdje su n i m prirodni brojevi, ako i samo ako decimalni prikaz ima konačan broj cifara ili se cifre ponavljaju beskonačno u grupama. Ovo je moguće pokazati običnim školskim dijeljenjem n sa m jer samo m mogućih ostataka postoji. Ako je 0 ostatak, decimalni ispis se završava. Ako se 0 nikad ne pojavljuje tada se postupak može ponoviti najviše (m − 1) puta prije nego što se ponovo isti ostaci pojave. Poslije toga, ostatak se ponavlja i decimalne cifre se ponavljaju. Primjer:

$A=0.7\,162\,162\,162\,\dots$

Pošto je dužina ponavljajuće grupe cifara 3, pomnožimo sa $10^{3}$

$1000A=7\,16.2\,162\,162\,\dots$

i oduzmimo A od obe strane

$999A=715.5\,.$

$A={\frac {715.5}{999}}={\frac {7155}{9990}}={\frac {135\times 53}{135\times 74}}={\frac {53}{74}}.$

Brojevi za koje se ne zna da li su iracionalni

Ne zna se da li su $\pi +e$ i $\pi -e$ iracionalni ili ne.

Ne postoje prirodni brojevi m i n za koje se zna da li je $\pi +ne$ iracionalno ili ne.

Nije poznato ni za $\mathbf {2} ^{\mathbf {e} }$, $\pi ^{\mathbf {e} }$, $\pi ^{\sqrt {2}}$ da li su iracioalni

Skup iracionalnih brojeva

Skup iracionalnih brojeva nema standardnu oznaku kao što je to slučaj sa skupom prirodnih brojeva N, skupom cijelih brojeva Z, skupom racionalnih brojeva Q ili skupom realnih brojeva R.

Skup iracionalnih brojeva je neprebrojiv, dok je skup racionalnih brojeva prebrojiv a realnih brojeva neprebrojiv. Skup algebarskih iracionalnih brojeva, znači netranscendentnih, je prebrojiv.

Koristeći apsolutnu vrijednost za mjerenje rastojanja, iracionalni brojevi čine metrički prostor koji nije kompletan. Pa ipak, ovaj metrički prostor je homeomorfan kompletnom metričkom prostoru svih nizova prirodnih brojeva; homeomorfizam je dat beskonačnim razvojem verižnih razlomaka. Ovo pokazuje da u prostoru iracionalnih brojeva važi iskaz Berove teoreme o kategoriji.

Neki zanimljivi iracionalni brojevi

Konstanta Koupland-Erdoš

$0.235711131719232931374143...$

dobijena spajanjem prostih brojeva u niz jeste iracionalan broj.

Također pogledajte

• Proračunljiv broj
• Zlatni rez
• Kvadratni korijen od 3
• Kvadratni korijen od 5